Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Ahoj,
následující není úloha, ale spíše úvaha. Děkuji předem za polemiku s ní.
Nechť je dána úplná teorie T (tj. každá uzavřená formule nebo její negace je dokazatelná) s predikátem rovnosti.
Označme jako S(n) tvrzení "existuje n různých prvků". Formálně lze např. S(3) vyjádřit jako
(a pro každé n lze výrok S(n) podobně formálně zapsat).
Potom pokud by existovaly pro m<n modely M(m) a M(n) teorie T o počtu prvků m a n, tak by v M(m) nemohlo platit S(n), které platí v M(n) - a tedy by S(n) ani jeho negace neplatilo současně v obou modelech M(m) a M(n) a tedy by S(n) ani jeho negace nemohla být dokazatelná, což je spor s úplností T. Tedy pokud má T nějaké konečné modely, tak musí mít všechny stejnou mohutnost.
A pokud bychom dovedli nějak formalizovat výroky P(K) tvaru "Existuje množina stejné mohutnosti jako kardinál K" (pro libovolný kardinál K), tak bychom stejnou úvahou mohli dospět k tomu, že všechny modely teorie T musí mít stejnou mohutnost. Případně, že všechny modely o menší mohutnosti než jistý kardinál L (pokud bychom dovedli P(K) formalizovat jen pro K o menší mohutnosti než L) mají stejnou mohutnost.
Je ve výše uvedených úvahách nějaká chyba? Pokud ne, tak je to docela zajímavé zjištění.
Offline
Ahoj,
tvoje úvaha pro konečné modely je víceméně správná a dá do použít i pro teorie neúplné (samozřejmě jen některé případy).
Pro nekonečné modely ale nic podobného neplatí. Existuje věta (tuším že to plyne z věty o kompaktnosti), která tvrdí že pokud má teorie nekonečný model, tak má model libovolné nekonečné kardinality (zdola omezeno mohutností jazyka teorie).
EDIT: ta zmiňovaná věta je: Löwenheimova-Skolemova
Offline