Matematické Fórum

biggiesmalls

Zdravím, mám trochu problém s určením def. oboru.

$y = \frac{1}{log(x^2 - 1)}$

Spočítal jsem obě potřebné podmínky:
1)
$log (x^2 - 1) \not = 0 \Rightarrow x \not = \pm \sqrt{2}$

2)
$x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x > \pm 1$

Nyní mám ale problém s určením intervalu.
Výsledek má být:
$D(f) = (-\infty ; -\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2} ;-1) \cup (1;\sqrt{2})\cup (\sqrt{2} ; \infty )$

Co nechápu je, proč jde def. obor do $-\infty$ , když x je větší než +- 1.

Mám to chápat tak, že pokud je $x > - 1$ , tak def. obor jde do $-\infty$ ?

Děkuji za každou radu.

vlado_bb

↑ biggiesmalls: Chyba je tu: $x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x > \pm 1$ . Trochu nad tym pouvazuj, uplne staci nakreslit si obrazok.

A k tvojmu zapisu: Relacia $>$ je nerovnost medzi CISLAMI. Vsimni si zapis $x > \pm 1$ . Kde na ciselnej osi sa nachadza "cislo" $\pm 1$ ?

Takjo · 28. 12. 2017 16:26

↑ biggiesmalls:
Dobrý den,
$x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x > \pm 1$ toto není správně interpretováno.
Malou úpravou dostaneme: $(x+1)\cdot (x-1)>0$ .
A teď použijte metodu nulových bodů (tabulku).

Rumburak

↑ biggiesmalls:

Ahoj.

Máme tedy 2 podmínky :

1) $x^2 - 1 > 0$ ,

aby měl smysl výraz $\log(x^2 - 1)$ ,

2) $x^2 - 1 \ne 1$ ,
aby platilo $\log(x^2 - 1) \ne 0$ a měl tak smysl zlomek $\frac{1}{\log(x^2 - 1)}$ .

Podmínka 1 je ekvivalentní s $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ .

(Toto $x > \pm 1$ bohužel není korektní matematický výrok - narozdíl od výroků
$x = \pm 1$ , $x \ne \pm 1$ , které se používají celkem běžně).

Podmínka 2 je ekvivalentní $x^2 \ne 2$ a tedy s $x \ne \pm \sqrt{2}$ .

Celkem tedy $x \in ((-\infty, -1) \cup (1, +\infty)) \setminus \{\pm\sqrt{2}\}$ . , neboli

$x \in (-\infty,-\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2},+\infty)$ .

PS. Kolegové mezitím již úlohu vyřešili, ale bylo by mi líto svůj pracně napsany text smazat,
tak ho tu už nechám.