Matematické Fórum

Akraell · 28. 12. 2017 14:58

Zdravím,

Potřeboval bych si udělat jasno v pojmu o Izomorfismu. Napíšu, jak jsem to pochopil

Izomorfismus = stejná struktura prostoru s tím, že se může zobrazovat z fce na polynom atd.

1. Jestli chápu dobře, z toho souvisí první nutná podmínka izomorfismu a to ta, že prostor musí mít stejnou dimenzi jako její obraz.

2. Zobrazení musí být lineární (chápu to dobře, že bychom v opačném případě nemohli úspěšně provést ani neizomorfní zobrazení?)
> to se ověří dvěma podmínkami L(x+y) = L(x) + L(y) a L(kx) = k L(x)

3. Zobrazení musí být prostý.
>Znamená to pouze to, že má jádro prostoru obsahovat pouze nulový prvek?

4. Další podmínka je "zobrazení na" (ImL = v).
- s čtvrtou podmínkou mám velký problém. V sešitě mám totiž zapsáno, že má platit 3. podmínka "nebo" 4. Něco mi ale říká, že musí platit obě současně. Závažnější část problému čtvrté podmínky je ta, že ji nechápu.

Pomůžete mi prosím ?

Rumburak · 28. 12. 2017 16:04

↑ Akraell:

Ahoj.

Z bodu 2 plyne, že máš na mysli isomorfismus dvou lineárních (neboli vektorových) prostorů.
(O isomorfismu lze hovořit i v souvislosti s jinými algebraickými strukturami.)

Je-li splněna podmínka 2, říkáme také, že jde o homomorfismus (neplést s homEomorfismem,
což je něco jiného).

Jsou-li splněny i podmínky 3, 4, pak teprve hovoříme o isomorfismu.

Napsal jsem to jen stručně - tak, aby vyniklo to podstatné. Ale na přesnou definici se stejně
raději podível do svých studijních materiálů nebo na internat.

Že dva LP konečné dimese nad týmž tělesem jsou spolu isomorfní, právě když mají tutéž dimensi,
je dokazatelná VĚTA. V DEFINICI isomorfismu se o tom nehovoří.

Tímto

stejná struktura prostoru s tím, že se může zobrazovat z fce na polynom atd.

chceš říci co?

Akraell

Ah, kéž bych měl alespoň schopnost se dobře vyjádřit v pořádku.
S tou větou si ani nejsem jistý, jestli ji chápu dobře. Byly ukázány 4 grafy, které byly shodné. Jiné bylo pouze to, že jeden graf se vztahoval k nějaké funkci, druhý k polynomu a poslední dvě k vektorům. A to mělo nějakou souvislost s isomorfismem.

Isomorfismus je pro mě stále nějaký popsaný jev, který si v hlavě nedokážu složit dohromady.

Přečetl jsem si znovu školní materiály.
-Zobrazení L se nazývá izomorfismus, je-li prosté a na prostor.
>"na prostor", přijde mi tato věta nedokončená. Jak "na prostor"? Nebo "Izomorfismus" je samotný proces lineárního zobrazování, musíme něco lineárně zobrazit a je pak splněná ta podmínka?

-tj. pro x,y ležící v prostoru U, kde x není rovno y, se L(x) s L(y) nerovnají.
-A pro každé y ležící v prostoru V existuje x ležící v U tak, že L(x) = y
>Možná by mi pomohl příklad, protože se v těch x a y ztrácím.

Věta 1
-Nechť L:U->V je lin. zobrazení. Potom L je izomorfismus právě tehdy, když Ker L = {o} a Im L = V
>takže podmínka "zobrazení na" = "když máme výsledek po lineárním zobrazování prostoru U"?

Věta 5
-Prostory U, V jsou izomorfní právě tehdy, když dimU = dimV
>podle školního materiálu se to netváří jako "dokazatelná věta", ale jako důležitá podmínka na úrovni věty první.

Akraell

Už definici chápu víc.
x = [0, 1, b]^T
y = [1, 0, a]^T

-nesmí být stejné (protože musí být lineárně nezávislé)
-jejich obrazy L(x) a L(y) také nebudou shodný (může se ale stát, že budou lin. závislé - někde jsem to vyčetl, snad je to správně)
-pro každé y ležící v prostoru V existuje x z prostoru U, jehož obraz je shodný s y

Cítím se ale stále ztracený. Přijde mi, že proces lineárního zobrazování U->V je synonymum k "izomorfismus (pokud Ker = 0) nebo homomorfismus (pokud neplatí podmínka s Ker)".
A nemám tu jistotu, jestli chápu správně.

Rumburak

↑ Akraell:

Nechť $A, B$ jsou lineární prostory nad týmž tělesem $T$ , $f: A \to B$ lineární zobrazení.
Potom platí, že $f(A)$ je také lineární prostor nad tělesem $T$ , a sice podprostor prostoru $B$ .

Místo "lineární zobrazení" lze říci "homomorfismus", přesněji "homomorfismus prostoru $A$
do prostoru $B$ " , případně "homomorfismus prostoru $A$ na prostor $f(A)$ ". Avšak
homomorfismus je obecnější pojem. Může se týkat i struktur, které lieárními prostory nejsou,
a kde by tedy pojem "lineární zobrazení" nebyl vhodný.

Ale vraťme se k našemu případu. Platí věta, která říká, že lin. zobr. $f$ je prosté, právě když
$\text{Ker}(f) = \{0\}$ . V tomto případě říkáme, že $f$ je isomorfismus prostoru $A$ na prostor $f(A)$ .
Pokud zde navíc platí $f(A) = B$ , potom $f$ je isomorfismus prostoru $A$ na prostor $B$ .
Předpona "iso" je tak logicky svázána s předložkou "na" (za předpokladu, že jde o homomorfismus,
který je prostý).

Akraell

Děkuji moc

vanok · 29. 12. 2017 20:45

Poznamka.
Je uzitocne vediet definicie ako aj vlasnosti.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Isomorphism
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Isomorphisme

Tu je to dobre spracovane. ( zakladny slovnik postaci).

Mozno sa pytas ake cvicenia by si mal riesit aby si dobre asimiloval tento pojem?
Mas zaujem?

Akraell

Ano, mám zájem.
Zrovna jsem si kontroloval, jak chápu jádro zobrazení a nic moc dobrý výsledky z toho taky nebyly. Byly horší, protože celou dobu jsem se pouze učil počítat, ale nestíhal jsem pochopit, co vlastně počítám.

Počítali jsme totiž příklady např.
$L: M_{2,3} -> P_{2}$

Abych sem nemusel složitě psát matici, udělám z ní vektor (doufám, že se to může).

Mám v plánu převést matici:
a b c
d e f
na vektor: [a, b, c, d, e, f]^T. Budu tedy zatím pracovat s $R_{6} -> P_{2}$

Zjednodušená verze zadání: Určete matici B lin. zobrazení L v bázích v1, v2.... a u1, u2...
$L([a,b,c,d,e,f]) = (a + b)x^{2} + (c + d)x + (e + f)$

Nyní důležitá část: co vlastně počítám? Napíšu jak to chápu. Když tak mě opravte (nebo doveďte k opravě)
Teprve včera jsem pochopil, že to L([a,b,c,d,e,f]) je obraz prostoru A zobrazený v prostoru B (nechť A,B jsou lineární prostory nad týmž tělesem T, L: A->B). A ten polynom na pravé straně rovnice je pravidlo, jak se prostor A zobrazí do prostoru B.

1. měli jsme zadané báze v1, v2.... v6 matice $M_{2,3}$ . K čemu?
-Odpovídám jak to chápu: jsou to prvky prostoru A, které budeme zobrazovat do prostoru B

v1: [1, 1, 0, 0, 0, 0] -> [2, 0, 0]^T
>a tak budu pokračovat až do v6. Ovšem musím dodržet zadání. Převedu tedy vektory na jejich původní formy.
-Jak to chápu: [2, 0, 0]^T je právě prvek L(A) a je to jedna z bází ImL

V zadání ještě navíc bylo $P_{2}$ : u1 = x^2 + 2x, u2 =..... atd. Stačilo to dořešit soustavou rovnic

2. Isomorfismus a co znamená jádro lineárního prostoru (vlastní bonus k zadání)
$KerL \subseteq R_{6}$
L(z) = [0,0,0]^T = [a+b, c+d, e+f]^T
Pro dodržení zadání lépe:
L(z) = 0 = (a+b)x^2 + (c+d)x + (e+f)

Moc netuším, jak bych pracoval s polynomem, tak pracuji s vektorem a vyjde mi:
a = -b
c = -d
e = -f

KerL = {[-b, b, -d, d, -f, f]} / jak to chápu: řešíme prvek z prostoru A s celou dimenzí 6, který se nám promítne do nuly prostoru B.

b[-1, 1, 0,0, 0, 0]^T
d[0, 0, -1,1, 0, 0]^T
f[0, 0, 0,0, -1, 1]^T
Jsou báze KerL. Dimenze = 3

součet dimenzí KerL a ImL musí být rovna prostoru A. Ve výsledku výchozího zadání mi vyšlo 6 prvků ImL. Z toho plyne, že máme v KerL nebo v ImL lineárně závislé prvky. (ověřil jsem si to v úkolu, který jsem dělal před dvěma měsíci a vskutku teprve teď jsem učinil objev. 3 prvky z ImL byly lineárně závislé. Což je vlastně logické, když jsou pouze 3 možné podle počtu čísel v hranaté závorce)

Jak chápu závěr související s isomorfismem: Teď jsem právě v pasti. Vyšli mi 3 báze KerL. Nejsem si jistý, něco mi říká, že pokud existuje báze KerL, pak je lineární zobrazení prostý. Navíc je splněna podmínka dim. KerL = dim. ImL.

Mám tu ještě krátký druhý příklad, kde vezmu pouze počítání KerL
L(z) = [a + 2b -3c, 4a - b + 2c, a + b + c, -3a + b + 2c]^T

a = -2b + 3c

Z toho plyne:
-2b + 3c + 2b - 3c == 0
-8b + 12c - b + 2c =/= 0 (=/= nerovná se)
-2b + 3c + b + c =/= 0
6b -9c + b + 2c =/= 0

V tomto případě rovnice nemá řešení, neexistují báze KerL (dim. KerL = 0) a tím pádem toto lineární zobrazení není prosté a není splněna podmínka pro isomorfismus. Pochopil jsem to správně?

vanok · 30. 12. 2017 15:00 — Editoval vanok (30. 12. 2017 16:52)

Ahoj,
Iste si cital materialy z mojho odkazu.
Tak si uvedom, ze pojem izomorphismu mozes prakticky chapat ako zmena oznacenia, ktore funguje v oboch smeroch.
Tiez je vhodne ( v dnesnej dobe, pouzivane prakticky vsade) pouzivat pojmy injekcia, surjecia, bijekcia ako aj pojmy monomorphismus, epimorphismus, isomorphismus; ako aj endomorphismus (najdi si definiciu) najmä aj chces sa zaoberat vseobecnejsie zo strukturamy. ( ak mozes porozumiet https://en.m.wikipedia.org/wiki/Category_theory tak si to pozorne precitaj).

Prve cvicenie. Najdi vsetki mozne grupy ( az na izomorphismus) ktore maju 4 prvky.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Akraell · 30. 12. 2017 21:59

Děkuji za cenou spolupráci. Za dva dny mi začnou zkoušky a potřebuji rychle dát alespoň zčásti dohromady co největší sousto z vysoký školy než se hodiny drtit s jedním tématem z jednoho předmětu. Navíc s angličtinou taky kapánek zápasím. Ještě se ale budu pokoušet dořešit tuto problématiku.

Matematické Fórum

#1 28. 12. 2017 14:58

Izomorfismus

#2 28. 12. 2017 16:04

Re: Izomorfismus

#3 28. 12. 2017 18:37 — Editoval Akraell (28. 12. 2017 18:39)

Re: Izomorfismus

#4 28. 12. 2017 19:01 — Editoval Akraell (28. 12. 2017 19:06)

Re: Izomorfismus

#5 29. 12. 2017 16:44 — Editoval Rumburak (02. 01. 2018 10:45)

Re: Izomorfismus

#6 29. 12. 2017 20:25 — Editoval Akraell (29. 12. 2017 20:25)

Re: Izomorfismus

#7 29. 12. 2017 20:45

Re: Izomorfismus

#8 30. 12. 2017 14:14 — Editoval Akraell (30. 12. 2017 14:20)

Re: Izomorfismus

#9 30. 12. 2017 15:00 — Editoval vanok (30. 12. 2017 16:52)

Re: Izomorfismus

#10 30. 12. 2017 21:59

Re: Izomorfismus

Zápatí