Matematické Fórum

edison · 31. 12. 2017 15:04

Jeden známý by chtěl z
$cos \omega=\frac{sin A-sin\phi sin\delta}{cos\phi cos\delta}$
získat fí.

Ovšem moje, jeho, i snaha dalších známých nevedla k výsledku. A Wolphram Alpha výsledek po zadání

(sin(a)-sin(phi) sin(delta))/(cos(phi) cos(delta))=cos(omega); solve for phi

sice vydal, ale kromě samotného výsledného vzorce z něj vylezlo několik opravdu šíleně vyhlížejících podmínek:
www.wolframalpha.com/input...

A teď vůbec netušíme, co si o tom myslet. Je potřeba ty podmínky nějak podrobněji analyzovat, nebo bude stačit, když budou vstupy nějaké rozumné (např. nad 0 a pod 90°)?

Resp. ještě přesněji: Původ rovnice je zde:
https://en.wikipedia.org/wiki/Sunrise_e … Hour_angle
Pokud se tam zadají reálně změřené hodnoty, bude výpočet fungovat jako "běžný vzorec", nebo to bude složitější?

Jj · 31. 12. 2017 16:53 — Editoval Jj (31. 12. 2017 16:54)

↑ edison:

Zdravím.

Možná rámcově nějak takto?

$\cos \phi \cos \omega \cos \delta +\sin \phi \sin \delta=\sin A$

$\cos \phi \frac{\cos \omega \cos \delta}{\sqrt{\sin^2\delta+\cos^2\omega \cos^2\delta}}+\sin \phi \frac{\sin \delta}{\sqrt{\sin^2\delta+\cos^2\omega \cos^2\delta}} =\frac{\sin A}{\sqrt{\sin^2\delta+\cos^2\omega \cos^2\delta}}$

Substituce:

$\frac{\cos \omega \cos \delta}{\sqrt{\sin^2\delta+\cos^2\omega \cos^2\delta}}=\cos \phi_0,\quad\frac{\sin \delta}{\sqrt{\sin^2\delta+\cos^2\omega \cos^2\delta}}=\sin \phi_0$

$\cos \phi \cos \phi_0+\sin \phi \sin \phi_0=\frac{\sin A}{\sqrt{\sin^2\delta+\cos^2\omega \cos^2\delta}}$

$\cos (\phi-\phi_0)=\frac{\sin A}{\sqrt{\sin^2\delta+\cos^2\omega \cos^2\delta}}$

$\left |\frac{\sin A}{\sqrt{\sin^2\delta+\cos^2\omega \cos^2\delta}} \right | \le 1, \quad \sin^2\delta+\cos^2\omega \cos^2\delta \neq 0$

edison · 31. 12. 2017 17:25

Tak to se tedy omlouvám, ale moc moudrej z toho nejsem...

Jj · 31. 12. 2017 18:29 — Editoval Jj (03. 01. 2018 12:15)

↑ edison:

Po dílčí úpravě

$\cos \phi \cos \omega \cos \delta +\sin \phi \sin \delta=\sin A$

---> rovnice je tvaru

$\cos \phi \cdot C_1 +\sin \phi \cdot C_2=C_3$ , neznámá $\phi$ , Ci - zadané výrazy bez neznámé

Rovnici dělit výrazem $\sqrt{C_1^2 + C_2^2}$ :

$\cos \phi \cdot \frac{C_1}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2}}+\sin \phi \cdot \frac{C_2}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2}}=\frac{C_3}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2}}$

Protože

$\left(\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2}}\right)^2+\left(\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2}}\right)^2=1$

je možno zvolit

$\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2}}=\cos \phi_0, \quad \frac{C_2}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2}}=\sin \phi_0$

pak

$\cos \phi \cos \phi_0 + \sin \phi \sin \phi_0 = \frac{C_3}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2}}$

$\cos (\phi - \phi_0) = \frac{C_3}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2}}$

takže

$\phi =\phi_0+\arccos \frac{C_3}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2}}$

Edit: Opraven překlep

pietro · 03. 01. 2018 10:04

Ahojte, skúsil som takto...

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-01/70247_lfukfu.png

edison · 05. 01. 2018 01:40

Původně jsem chtěl jen vědět, co si mám myslet o těch podmínkách, co vygeneroval WA.

Místo toho jsem dostal dvě jiná řešení, z čehož to druhé pro jistotu generuje dva výsledky.

Naštěstí teď nemusím psát něco jako "tak teď babo raď", protože se mezi tím podařilo dohledat dokumentaci k software, který tento problém řeší:
ftp://ftp.soest.hawaii.edu/PFRP/tag-data/pdf/Hill.pdf

Takže tímto děkuji za snahu. :-)

pietro · 06. 01. 2018 08:12 — Editoval pietro (06. 01. 2018 08:13)

↑ edison: asi ani Wolfram sa nemá príliš zaťažovať :-) , lebo v snahe o perfektnosť zahmlí výsledok

Odkaz

Matematické Fórum

#1 31. 12. 2017 15:04

Divný goniometrický výpočet

#2 31. 12. 2017 16:53 — Editoval Jj (31. 12. 2017 16:54)

Re: Divný goniometrický výpočet

#3 31. 12. 2017 17:25

Re: Divný goniometrický výpočet

#4 31. 12. 2017 18:29 — Editoval Jj (03. 01. 2018 12:15)

Re: Divný goniometrický výpočet

#5 03. 01. 2018 10:04

Re: Divný goniometrický výpočet

#6 05. 01. 2018 01:40

Re: Divný goniometrický výpočet

#7 06. 01. 2018 08:12 — Editoval pietro (06. 01. 2018 08:13)

Re: Divný goniometrický výpočet

Zápatí