Matematické Fórum

xx · 07. 01. 2018 15:30 — Editoval xx (07. 01. 2018 15:34)

Dobrý den, prosím o pomoc:

Určete poměr objemů rotačního kužele a koule, je- li kužel této kouli opsán a povrch kužele je n-krát větší než povrch dané koule. (výsledek: n)

$\frac{Vkuzel}{Vkoule}=\frac{(\frac{1}{3}) \pi r_1^ 2 v}{(\frac{4}{3}) \pi r_2^ 3}=\frac{r_1^2 v}{4 r_2^3}$
$n (4 \pi r_2^2) = \pi r_1 (r_1 + s)$

Nevím, jak pokračovat dále.

misaH · 07. 01. 2018 15:53 — Editoval misaH (07. 01. 2018 15:59)

↑ xx:

No.

Ak je kužeľ tej guli opísaný, tak v kolmom reze je vidno rovnoramenný trojuholník s vpísanou kružnicou.

$r_1$ je polovica základne trojuholníka.

Nepomôže to?

xx · 07. 01. 2018 16:23

No, obrázek už jsem měl, zkoušel jsem vyjádřit $s$ přes Pythagorovu větu, ale nevyšlo nic hezkého.

misaH · 07. 01. 2018 18:01 — Editoval misaH (07. 01. 2018 18:03)

↑ xx:

Viem ukázať, že keď sa vyjadrí n a nahradí sa (napríklad) pomocou uhla alfa pri základni vyjde to isté ako keď sa vyjadrí pomer objemov pomocou uhla alfa.

Ale možno existuje oveľa jednoduchšie riešenie...

xx · 07. 01. 2018 19:14

↑ misaH:

Můžete napsat alespoň začátek?

misaH · 07. 01. 2018 19:25 — Editoval misaH (07. 01. 2018 20:19)

↑ xx:

No.

Bude to ale trvať a bude to dlhé...

$\frac vs=\sin \alpha$ , teda $v= s\cdot \sin \alpha$

$\frac {r_1}{s}=\cos \alpha$ , teda $r_1=s\cdot \cos \alpha$

$\frac {r_2}{v-r_2}=\cos\alpha$ , teda $r_2=\frac{v\cos \alpha}{1+\cos\alpha}$

Vzťah pre povrchy:

$n\cdot 4 r_2^2=r_1^2+r_1s$

po dosadení za oba polomery

$n\cdot 4\cdot\frac{s^2\sin^2 \alpha\cos^2\alpha}{(1+\cos\alpha)^2}=s^2\cos\alpha (1+\cos\alpha)$

Po úprave

$\color{red}n=\frac{(1+\cos\alpha)^3}{4\sin^2\alpha\cos \alpha}$

Pomer objemov:

$\frac{r_1^2\cdot v}{4r_2^3}$

Po dosadení

$\frac {s^2 \cos^2 \alpha\cdot s\cdot \sin \alpha(1+\cos\alpha)^3}{4\cdot s^3\cdot \sin^3\alpha \cos^3 \alpha}$

Upraviť...

Ale neverím, že to nejde jednoduchšie...

xx · 07. 01. 2018 20:21

↑ misaH:

Super, děkuji moc za ochotu :) Je to možné, že existuje i rychlejší řešení, jelikož se jedná o příklad z přijímacích zkoušek...

misaH · 07. 01. 2018 20:26

↑ xx:

Tak to určite ... cítim, že je to nejaké komplikované.

A ak tam nebola odpoveď... nechcela by som to mať na skúškach.

Možno sa Ti ešte niekto ozve s jednoduchým postupom.

xx · 07. 01. 2018 20:37 — Editoval xx (07. 01. 2018 20:37)

↑ misaH:

Jde o staré přijímačky na MatFyz a odpověď na výběr nebyla... Ale i tak děkujii za pomoc :)

misaH · 07. 01. 2018 23:03

↑ xx:

:-)

Honzc · 08. 01. 2018 07:14

↑ misaH:
Samozřejmě to jde jednodušeji:
Ze zadání máme: (poloměr koule=r, poloměr podstavy kuželu=r1, výška kuželu=v)
$\frac{V_{ku}}{V_{ko}}=\frac{r_{1}^{2}v}{4r^{3}}$ , $4nr^{2}=r^{2}_{1}+r_{1}s$
Dále z podobných trojúhelníků osového řezu dostaneme:
$\frac{s}{v-r}=\frac{r_{1}}{r}\Rightarrow sr_{1}=\frac{(v-r)r_{1}^{2}}{r}=\frac{r_{1}^{2}v}{r}-r_{1}^{2}$
a tedy
$4nr^{2}=r_{1}^{2}+\frac{r_{1}^{2}v}{r}-r_{1}^{2}=\frac{r_{1}^{2}v}{r}\Rightarrow r_{1}^{2}v=4nr^{3}$
Pak
$\frac{V_{ku}}{V_{ko}}=\frac{4nr^{3}}{4r^{3}}=n$