Matematické Fórum

abcde123

Jak se řeší tato rovnice?

$ax^3-a^2|x|=0$

Já jsem postupoval tak že jsem rovnici řešil v intervalech $(-\infty ;0)$ a $\langle0;\infty )$ .

Výsledky mi vyšly pro $(-\infty ;0)$ : $a=0$ .... $\mathbb{R}$ , $a=-(x^2)$ ...... $\mathbb{R}$ , $a\neq0\neq-(x^2)$ .... $\{0\}$

Pro $\langle0;\infty )$ : $a=0$ .... $\mathbb{R}$ , $a=x^2$ ...... $\mathbb{R}$ , $a\neq0\neq x^2$ .... $\{0;-\sqrt{a};\sqrt{a}\}$

misaH · 09. 01. 2018 20:52

↑ abcde123:

A čo je neznáma? x alebo a?

abcde123 · 09. 01. 2018 20:56

↑ abcde123:

Zadání je: "Pro reálné číslo $a$ označme $M_{a}$ množinu všech řešení rovnice v oboru reálných čísel."

vlado_bb

↑ abcde123: Takze co je teda neznama? Z tvojho riesenia mam pocit, ze nie celkom chapes, o co ide v rovniciach s parametrom. Pre istotu - ake je riesenie rovnice $ax=0$ , kde $a$ je realny parameter a $x$ je neznama?

abcde123

↑ vlado_bb:

$a=0....\mathbb{R},a\neq0.....\{0\}$

Co je neznámá nevím ale předpokládám že x.

vlado_bb · 09. 01. 2018 21:26

↑ abcde123: Tak potom v poriadku, len by to chcelo trochu prehladnejsi zapis, nieco ako "ak $a$ je ...., tak $x$ je ...

POkial ide o povodnu ulohu, je rozumne rozdelit ju na pripady $x$ zaporne a $x$ nezaporne. Ale ak predpokladame, ze $x$ je zaporne, tak nemoze vyjst, ze je lubovolne realne. Takisto nie je dost dobre mozne prepokladat, ze $a=-(x^2)$ , nakolko $x$ je neznama.

abcde123 · 10. 01. 2018 20:18

↑ vlado_bb:

Takže výsledek bude

$a=0\Rightarrow \mathbb{R}$
$a\neq0\Rightarrow \{0;\sqrt{a}\}$

vlado_bb · 10. 01. 2018 20:31

↑ abcde123: Implikacia je logickou spojkou medzi VYROKMI. Kym $a=0, a \ne 0$ vyroky su (presnejsie vyrokove formy), tak $\mathbb{R}$ ani $\{0;\sqrt{a}\}$ vyroky nie su. Dalej by bolo treba uvazit, co v pripade $a<0$ .

abcde123

↑ vlado_bb:

Tak tedy takto?

$a=0\Rightarrow K=\mathbb{R}$
$a<0\Rightarrow K=\{0;\sqrt{a};-\sqrt{a}\}$
$a>0\Rightarrow K=\{0;\sqrt{a};-\sqrt{a}\}$

vlado_bb

↑ abcde123: Ano, teraz uz ide o vyroky. Bolo by treba povedat, co je to $K$ . Ak $a<0$ , tak sotva mozeme hovorit o jeho druhej odmocnine ...

misaH · 11. 01. 2018 22:04

↑ vlado_bb:

:-)

$K$ je množina všetkých koreňov rovnice...

abcde123 · 11. 01. 2018 22:17

↑ vlado_bb:

K značí množinu všech řešení rovnice.

$a=0\Rightarrow K=\mathbb{R}$
$a<0\Rightarrow K=\{0;\sqrt{-a}\}$
$a>0\Rightarrow K=\{0;\sqrt{a}\}$

Takto je to tedy správně?

vlado_bb · 12. 01. 2018 06:07

↑ abcde123: Ano, to je podla mna v poriadku.

abcde123 · 13. 01. 2018 13:07

Můžete mi ještě poradit proč je toto tvrzení pravdivé?

"Pro každé reálné číslo $b$ existuje reálné číslo $a$ tak, že $M_{a}\cap (-\infty ;b\rangle$ obsahuje právě jeden prvek."

$M_{a}$ je množina všech řešení rovnice.

vlado_bb

↑ abcde123: Uvazuj osobitne o pripadoch, kedy je $b$ zaporne, kladne a nula.

zdenek1 · 13. 01. 2018 17:18

↑ vlado_bb:
k příspěvku #13
Myslím, že to není v pořádku
$a<0\Rightarrow K=\{0;\color{red}-\color{black}\sqrt{-a}\}$

abcde123 · 13. 01. 2018 17:36

↑ zdenek1:

Já jsem to počítal znovu a vyšlo mi

$a=0\Rightarrow K=\mathbb{R}$
$a<0\Rightarrow K=\{0;\pm\sqrt{-a}\}$
$a>0\Rightarrow K=\{0;\pm\sqrt{a}\}$

Když dosadíme do první rovnice $\sqrt{-a}$ tak by mělo vyjít $-a^{\frac{5}{2}}+a^{\frac{5}{2}}=0$ .

zdenek1 · 13. 01. 2018 17:48

↑ abcde123:
Zkus si dosadit za $a=-4$ a spočítej si tuto konkrétní rovnici.

misaH · 13. 01. 2018 17:54 — Editoval misaH (13. 01. 2018 18:16)

↑ abcde123:

No neviem.

Napríklad nech a=-5.

Potom rovnica vyzerá

$-5x^3-25|x|=0$

Odstraňujem AH:

I. $x\ge0$

Rovnica je potom

$-5x^3-25x=0 /:(-5)$

$x(x^2+5)=0$

$x=0$

Alebo

II. $x\le0$

Potom rovnica má tvar

$-5x^3+25x=0 /:(-5)$

$x_1=0 ; x_2=-\sqrt 5$ , lebo výsledok má byť záporný...

Rovnako si môžeš skúsiť riešenie pre kladné a, napríklad a = 1.