Matematické Fórum

JimTequila · 15. 01. 2018 21:11

Dobrý večer všem.

Narazil jsem na problém při řešení úlohy týkající se obecně definic prostorů a základních operací s nimi (lineární prostory, Banachovy, se skalárním součinem, Hilbertovy, ...)

Jak korektně zdůvodnit, že prostor $L_p(I), p\ge 1$ je zúplněním prostoru $C_p(I), p\ge 1$ ?

Jak rozhodnout o platnosti tvrzení $L_p(I)\subset L_q(I)$ pokud $1\le p \le q$ ?

Jak řešit problém linearity, omezenosti a spojitosti zobrazení $F: L_4(I) \rightarrow L_2(I)$ , které je definované předpisem $F(\varphi)=\varphi ; \varphi \in L_4(I)$ ?

Předem děkuji za případné rady, jak tyto úlohy správně řešit.

Hezký zbytek dne, JK

Bati · 16. 01. 2018 00:42

I znamena interval? Omezeny? Odpovedi na tom dost zavisi...

JimTequila · 16. 01. 2018 08:57

↑ Bati:
Ano omezený interval $I=\langle a;b\rangle$

Bati · 16. 01. 2018 18:44

1) To plati myslim jen pokud p neni nekonecno. Nevim, co se mysli prostorem $C_p$ , $p\geq1$ , ale tady je to jedno, protoze je to stejne i pro $C^{\infty}$ . Pokud $X$ je uzaver $C^{\infty}$ vzhledem k norme $\|\cdot\|_p$ , pak zrejme $X\subset L^p$ , nebot $L^p$ je uplny. Na druhou stranu, je-li $f\in L^p$ , $p<\infty$ , pak konvoluce $f$ s aproximativni jednotkou je hladka funkce konvergujici k $f$ v norme $\|\cdot\|_p$ (to je standardni tvrzeni z FA, kdyztak muzu dovysvetlit). Takze rovnez $L^p\subset X$ .

2) je jen podotazka 3). Otazka 3) je jen rozhodnout o tom, jestli dane vnoreni (to je ta identita) je spojite. Tady staci pouzit Holderovu nerovnost s jednickou a vyuzit omezenosti intervalu.