Matematické Fórum

AndrejR

Ahoj,

dostali jsme zadaný vektor rychlosti (pro ustálené proudění) $\overrightarrow{v}=(-\beta x,\beta y,\gamma )$

a jedním z úkolů bylo určit, zda je tekutina nestlačitelná. Spolužák mi trvdil, že prý v rovnici kontinuity
$\frac{\partial \varrho }{\partial t}+\nabla \cdot (\varrho \overrightarrow{v})=0$

můžeme vytknout hustotu z divergence a spočítáme, že $\nabla \cdot \overrightarrow{v}=0$

a pak tedy musí být hustota konstantní (a tekutina nestlačitelná). Ale domnívám se, že to nemůžeme udělat, protože hustota může být funkcí souřadnic a tedy ji nelze jen tak vytknout před divergenci, ne?

Jak na to?

edison · 16. 01. 2018 19:52

Řekl bych, že má tak trochu pravdu. Ale musí se to brát jako nerovnice. Normálně je v rovnici kontinuity místo 0 zdrojový člen s.

(jestli je zadáno jen v)
Pokud při zadaném v bude =0, tekutina není stlačována, ani neexpanduje a mohla by to tedy být ideální (nestlačitelná) kapalina. Pokud je <0 tekutina se nám nějak shlukuje v daném místě, pokud >0 tak nám z místa naopak expanduje.

Ale tohle není problematika, se kterou bych měl moc zkušeností, tak se můžu mýlit:-)

AndrejR · 16. 01. 2018 20:12

Takže dle s = 0 víme, že je hustota konstantí a to je vše. Ty další kroky nám už nic bližší neprozradí, chápu to správně?

Tedy i ta otázka, zda je nestlačitelná, je nepřesná, a bylo by lepší zeptat se, zda ji můžeme považovat za nstlačitelnou?

edison · 16. 01. 2018 21:20

Kdyby bylo s=0, můžeme s jistotou tvrdit, že ke stlačování/expanzi nedochází.

Z čehož ovšem automaticky neplyne, že musí být nestlačitelná. Kdyby ovšem zadání zároveň obsahovalo nějaký údaj, ze kterého by plynula změna tlaku, potom by bylo jisto, že je kapalina nestlačitelná.

Pokud ovšem zároveň přijmeme předpoklad, že hustota je >0 a tekutina se nachází v gravitačním poli, pak by při nenulové vertikální složce rychlosti již z s=0 nestlačitelnost asi plynula.

LukasM · 16. 01. 2018 22:36

↑ AndrejR:
Řekl bych, že hustotu před divergenci jen tak vytknout nejde, proto je také uvnitř, že nemá být venku. Správná argumentace spíše povede na převedení rovnice do tvaru se substacionální derivací (což odpovídá výpočtu změn hustoty, které by viděl někdo unášený proudem). Tím dostaneme tvar $\frac{D\rho}{Dt}+\rho(\nabla \cdot \vec{v})=0$ a teprve z něj je vidět, že nulová divergence rychlostního pole je ekvivalentní nestlačitelnému proudění. A ano, formálně to vypadá vytknuté ven - ovšem ten člen s časovou derivací má teď jiný význam, není to tedy "obyčejné" vytknutí.

AndrejR · 17. 01. 2018 11:18

Děkuju, myslím, že toto jsem potřeboval :)

Matematické Fórum

#1 16. 01. 2018 18:24 — Editoval AndrejR (16. 01. 2018 18:30)

Je tekutina nestlačitelná?

#2 16. 01. 2018 19:52

Re: Je tekutina nestlačitelná?

#3 16. 01. 2018 20:12

Re: Je tekutina nestlačitelná?

#4 16. 01. 2018 21:20

Re: Je tekutina nestlačitelná?

#5 16. 01. 2018 22:36

Re: Je tekutina nestlačitelná?

#6 17. 01. 2018 11:18

Re: Je tekutina nestlačitelná?

Zápatí