Matematické Fórum

chobo · 16. 01. 2018 13:11

Ahoj, nevím si rady s tímto příkladem
Zadání:
Určete práci kterou je nutno vynaložit pro stlačení nárazníkové pružiny o 70mm, jestliže pro sílu při stlačení o délku x platí vztah F=kx. O této pružině je známo, že těleso o hmotnosti 4kg upevněné na konci pružiny kmitá s frekvencí f=162Hz.

Díky za pomoc.

Ferdish · 16. 01. 2018 13:37

Konštanta $k$ vo výraze pre silu $F$ je tuhosť pružiny, a rovnaká veličina vystupuje aj vo výraze pre frekvenciu (viď učebnica, skriptá alebo iný študijný materiál, ktorý máš poruke).

Celkovú prácu potom vypočítaš pomocou integrálu

$W=\int_{0}^{l}F(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{l}kx\,\mathrm{d}x$

kde $l$ je dĺžka, o ktorú chceš tú pružinu stlačiť. Hlavne pozor na premenu jednotiek!

Rumburak

↑ chobo:

Ahoj.

Nutno si uvědomit, že v rovnici

(1) $F = kx$

je $k < 0$ , neboť v případě $k > 0$ by se pružina přetrhla.

Úlohu lze řešit i pomocí "středoškolské" látky - viz téma harmonický pohyb .

Chceme-li řešit úlohu metodami vysokoškolské matematické analýzy, pak rovnici (1)
postupně upravíme na

$ma(t) = kx(t)$

(kde $m$ je hmotnost závaží, $x(t)$ jeho odchylka od "středové" polohy v okamžiku $t$ ,
$a(t)$ zrychlení pohybu v uvedeném okamžiku),

$mx''(t) = kx(t)$ ,
(2) $x''(t) - \frac{k}{m}x(t) = 0$ ,

což je obyčejná lineární diferenciální rovnice druhého řádu s nezmámou funkcí $x = x(t)$ .
Nutno tedy vyřešit rovnici (2).
Hodnotu konstanty $k < 0$ získáme z podmínky o frekvenci pohybu při m = 4kg.

Ferdish

Rumburak napsal(a):
Ahoj.

Nutno si uvědomit, že v rovnici

(1) $F = kx$

je $k < 0$ , neboť v případě $k > 0$ by se pružina přetrhla.

To nie je pravda. Ak by bolo $k$ záporné, tak vo vzťahu pre frekvenciu pružinového oscilátora s tuhosťou $k$ a hmotnosťou závažia $m$ by vychádzal záporný výraz pod odmocninou. A ako vieme, merateľná frekvencia je reálna, nie komplexná veličina...

Rumburak napsal(a):
Úlohu lze řešit i pomocí "středoškolské" látky - viz téma harmonický pohyb .

Chceme-li řešit úlohu metodami vysokoškolské matematické analýzy, pak rovnici (1)
postupně upravíme na

$ma(t) = kx(t)$

(kde $m$ je hmotnost závaží, $x(t)$ jeho odchylka od "středové" polohy v okamžiku $t$ ,
$a(t)$ zrychlení pohybu v uvedeném okamžiku),

$mx''(t) = kx(t)$ ,
(2) $x''(t) - \frac{k}{m}x(t) = 0$ ,

což je obyčejná lineární diferenciální rovnice druhého řádu s nezmámou funkcí $x = x(t)$ .
Nutno tedy vyřešit rovnici (2).
Hodnotu konstanty $k < 0$ získáme z podmínky o frekvenci pohybu při m = 4kg.

Ulohou je vypočítať energiu pre stlačenie pružiny, nie riešiť pohybovú rovnicu netlmeného oscilátora!

Rumburak · 17. 01. 2018 11:18

↑ Ferdish:
Jasně. Jde o to, co míníme silou F: zda "vnější" sílu, která způsobí výchylku x,
nebo odpovídající reakci pružiny. Já jsem měl na mysli druhou možnost, protože
jsem směřoval k té pohybové rovnici. Umíme-li totiž vyřešit pohybovou rovnici,
pak snadno odtud vyřešíme i další dílčí otázky, které s tím spouvisejí.

Ferdish · 17. 01. 2018 11:51

↑ Rumburak:
Rozumiem, ale je jedno, či máš na mysli vonkajšiu pôsobiacu silu, alebo silu ako reakciu pružiny na jej stlačenie - v oboch prípadoch je konštanta tuhosti kladná. A ako kladná konštanta sa uvádza tiež vo fyzikálnych tabuľkách.

Stačí si urobiť náčrt problému, zaznačiť doň vektory pôsobiacich síl a polohového vektora, a malo by to byť jasné.

Rumburak

↑ Ferdish:

O.K.
Že ve fyzikálních tabulkách se příslušně definovaná konstanta $k$ uvádí jako kladná, o tom
nijak nepochybuji a vnímám to jako správné. Ale řeším-li úlohu, mám dvě možnosti:

I. Mohu symbolem $F$ myslet sílu, která vyvolává výchylku $x$ , takže oba tyto vektory mají
shodnou orientaci, tj. $F= kx$ s $k > 0$ .

II. Mohu symbolem $F$ myslet sílu, která je reakcí pružiny na sílu, která vyvolala výchylku $x$ .
Potom se však vektory $F, x$ liší svojí orientací a platí $F= - kx$ s $k > 0$ , tedy
$F= qx$ s $q < 0$ .

V onom kontroversním příspěvku jsem měl na mysli ten druhý případ, jak jsem již zdůvodnil
v příspěvku předchozím.