Matematické Fórum

dominiksep · 18. 01. 2018 20:37

$u(x,y)=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$
$u(0,0)=0$
Vyšetřete spojitost.

Zatím jsem spočítal $l_{xy}=\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}u(x,y)=0=l_{yx}$ , mám tedy kandidáta na limitu, který neodporuje hodnotě funkce. Poté jsem se pokusil limitu dokázat:
$\left|\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\right|=\frac{||(x,y)||_3^2}{||(x,y)||_2^2}\le K\frac{||(x,y)||_2^2}{||(x,y)||_2^2}=K$
Kde nerovnost plyne z ekvivalence norem.
To mě vedlo k myšlence, že limita asi nebude konvergovat. To by se mělo dát dokázat z Heineho věty, ale nejsem schopen najít vybranou posloupnost, která by šla k něčemu jinému než k nule.
Díky.

Stýv · 19. 01. 2018 08:41

Není spíš $\left|x^3+y^3\right|=||(x,y)||_3^3$ ? Odhadem byhc řekl, že to konvergovat bude, protože v čitateli jsou obě proměnné ve vyšší mocnině než ve jmenovateli.

Marian · 19. 01. 2018 12:35 — Editoval Marian (19. 01. 2018 12:36)

Z definice spojitosti funkce dvou proměnných je zřejmé, že stačí dokázat, že pro každé epsilon > 0 existuje prstencové delta-okolí bodu (0,0) takové, že pro všechny jeho body (x,y) platí |u(x,y)-u(0,0)| < epsilon.

K tomu si ovšem stačí rozmyslit platnost nerovnosti

$\left |\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\right |\le\cdots\le |x|+|y|,$

ze které již plyne spojitost funkce v daném bodě. Aparát limit není nezbytný.

dominiksep · 19. 01. 2018 14:38

↑ Stýv:
Díky, teď už to sedí. Limita je tedy 0.

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2018 20:37

Vyšetřete spojitost funkce 2 proměnných

#2 19. 01. 2018 08:41

Re: Vyšetřete spojitost funkce 2 proměnných

#3 19. 01. 2018 12:35 — Editoval Marian (19. 01. 2018 12:36)

Re: Vyšetřete spojitost funkce 2 proměnných

#4 19. 01. 2018 14:38

Re: Vyšetřete spojitost funkce 2 proměnných

Zápatí