Matematické Fórum

Artii · 22. 01. 2018 18:08 — Editoval Artii (22. 01. 2018 18:09)

Ahoj může mi někdo pomoct s limitou? podle kalkulaček to vychází -0,5 ale nemůžu se k tomu dopočítat...

$\lim_{x\to0}\frac{sin (x) -x }{tg(x)-x}$

Ferdish · 22. 01. 2018 18:13

Hint: $\text{tg }x=\frac{\sin x}{\cos x}$

Jj · 22. 01. 2018 18:32

↑ Artii:

Zdravím.

Rozvést uvedené goniometrické funkce v mocninnou řadu.

Artii · 22. 01. 2018 18:44

Dobrý den, co myslíte tím převést na mocninnou řadu?

Jj · 22. 01. 2018 18:55 — Editoval Jj (22. 01. 2018 19:21)

↑ Artii:

Pokud jste tyto rozvoje ještě nebrali, tak to zřejmě nepůjde.

Edit - doplněno - myslím toto:

$\lim_{x\to0}\frac{sin (x) -x }{tg(x)-x}=\lim_{x\to0} \frac{(x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + \cdots) - x}{(x + x^3/3 + (2 x^5)/15 + (17 x^7)/315 +\cdots)-x}=\cdots$

Takže v čitateli i jmenovateli odečíst 'x', zlomek zkrátit třetí mocninou x a dosadit x = 0.

Jj · 22. 01. 2018 19:46

Případně L'Hospitalovo pravidlo, pokud je smíte použít:

Odkaz

vanok · 22. 01. 2018 21:11 — Editoval vanok (22. 01. 2018 21:12)

Pozdravujem ↑ Jj:
To nemusis ist tak daleko.
Mas $sin x - x\sim_0 \frac {x^3}6$
a $tg x-x\sim_0 -\frac {x^3}3$ atd...

Artii · 22. 01. 2018 21:52

Pomocí Lhospitala jsem zkoušel ale taky jsem nějak neuspěl. Dost možná dělám nějakou zásadní chybu...nevím.

Aplikace L'hospitala

$\lim_{x\to0}\frac{cosx -1}{\frac{1}{cos ^{2}x}-1}=\lim_{x\to0}\frac{cosx-1}{\frac{1-cos^{2}x}{cos^{2}x}}=\lim_{x\to0}cosx-1\cdot \frac{cos^{2}x}{1-cos^{2}x}$

No a co dál? ať zkusím co zkusím na výsledek $-\frac{1}{2}$ mi to nevede :(

Jj · 22. 01. 2018 22:21 — Editoval Jj (22. 01. 2018 22:24)

↑ Artii:

$\cdots=\lim_{x\to0}\frac{cosx-1}{\frac{1-cos^{2}x}{cos^{2}x}}=\lim_{x\to0} \frac{(\cos x-1)\cos^2x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\cdots$

Artii · 23. 01. 2018 07:09

Bože můj ja jsem slepý...

$...=\lim_{x\to0}\frac{(-1)\cdot (1-cosx)\cdot cos^{2}x}{(1-cosx)\cdot (1+cosx)} =\lim_{x\to0} \frac{(-1)\cdot cos^{2}x}{1+cosx}=\frac{-1\cdot cos^{2}(0)}{1+cos(0)}=\frac{-1.1}{1+1}=\frac{-1}{2}$

Takhle už to bude snad správně...

Jj · 23. 01. 2018 08:54

:)

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2018 18:08 — Editoval Artii (22. 01. 2018 18:09)

Limita

#2 22. 01. 2018 18:13

Re: Limita

#3 22. 01. 2018 18:32

Re: Limita

#4 22. 01. 2018 18:44

Re: Limita

#5 22. 01. 2018 18:55 — Editoval Jj (22. 01. 2018 19:21)

Re: Limita

#6 22. 01. 2018 19:46

Re: Limita

#7 22. 01. 2018 21:11 — Editoval vanok (22. 01. 2018 21:12)

Re: Limita

#8 22. 01. 2018 21:52

Re: Limita

#9 22. 01. 2018 22:21 — Editoval Jj (22. 01. 2018 22:24)

Re: Limita

#10 23. 01. 2018 07:09

Re: Limita

#11 23. 01. 2018 08:54

Re: Limita

Zápatí