Matematické Fórum

Hoostee · 29. 01. 2018 18:42

Ahoj,

mám zadanou úlohu:

Společnost instalovala nový automat na nápoje a předpokládá, že automat využije 100 osob týdně. Na jeden nápoj je využit vždy jeden kelímek. Konkrétní osoba nezávisle na ostatních v automatu nakoupí $K$ nápoojů, kde $K$ se řídí Poissonovým rozdělením s parametrem $\lambda =1$ .

a) Kolik procent zákazníků si koupí dva a více nápojů?
b) Určete přibližně pravděpodobnost, že během týdne bude vyčerpán zásobník kelímků, který má kapacitu 110 kelímků?
c) Kolik musí být kapacita zásobníku, aby s pravděpodobností alespoň 0.99 nedošlo k vyčerpání?

a) jsem vyřešil takhle
$P(K\ge 2) = 1-P(K<2) = 1-F(1) = 1 - 0.735 = 0.264 \Rightarrow 26.4\%$
s b) a c) si ale nevím rady, nejspíš to vede na centrální limitní větu, ale nevím jak začít.

Jj · 29. 01. 2018 19:35 — Editoval Jj (29. 01. 2018 22:07)

↑ Hoostee:

Dobrý den, řekl bych, že

a) Správně.

b) c) Taky to vidím na CLV: V podstatě jen pro jednodušší výpočet nahradit (přibližně) diskrétní Poissonovo rozložení s $\lambda=1$ spojitým normálním rozložením ---> místo poměrně náročných výpočtů jen vyhledávání v tabulkách.

Jako parametry normálního rozložení $N(\mu, \sigma^2)$ se použijí tytéž parametry Poissonova rozložení, tj. $N(\lambda, \lambda)$ , v tomto příkladu tudíž rozložení $N(1,1)$ . Dále opraveno: ↑ Jj:

Vyhledávač fóra (zadat CLV) najde řadu příkladů na toto téma.

To dáte. Začněte jako při výpočtu s Poissonem, sestavte příslušné vztahy a až v závěru využijte CLV.

Pro kontrolu je výhodné využít WolframAlpha pro přímý výpočet pomocí Poissona.

Hoostee · 29. 01. 2018 20:36

Zdravím,

děkuji za odpověď. A chtěl bych se zeptat, zda lze opravdu nahradit Poissonovo rozdělení rozdělením normálním, pokud je $\lambda =1$ ? Nás se to učí tak, že musí být $\lambda \ge 9$ , aby to bylo možné.

Jj · 29. 01. 2018 21:51 — Editoval Jj (29. 01. 2018 22:02)

↑ Hoostee:

Jj, zapomněl jsem na počet zaměstnanců. Součet n náhodných veličin s Poissonovým rozložením s parametrem $\lambda$ má rovněž Poissonovo rozložení, a to s parametrem $n\cdot\lambda$ .

Takže rozložení N(100,100).

Hoostee

Tak jsem to nějak dal dokupy, vypadá to rozumně?

b)
$X\approx Po(n*\lambda )=Po(100)\approx N(100,100)$
$P(X>110)=1-P(X\le 110)=1-\varphi (\frac{110-100}{\sqrt{100}})=1-0.841=0.159$

c)
$P(X\ge a)\le 1-0.99$
$1-P(X<a) \le 0.01$
$\varphi (\frac{a-100}{\sqrt{100}}) \ge 0.99$
$\frac{a-100}{\sqrt{100}}=2.36$
$a=123.6 \Rightarrow minimalni\_kapacita=124$

Jj · 29. 01. 2018 23:10 — Editoval Jj (29. 01. 2018 23:11)

↑ Hoostee:

b) vypadá v pořádku.

Myslím, že u c) je možné začátek vynechat:

$P(X\le a) \ge 0.99$
$\varphi (\frac{a-100}{\sqrt{100}}) \ge 0.99$
$\frac{a-100}{\sqrt{100}}\ge 2.36$
$a\ge 123.6 \Rightarrow minimalni\_kapacita=124$

Hoostee · 29. 01. 2018 23:13

Jojo, to vypadá líp. Tak moc děkuji za pomoc.

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2018 18:42

Poissonovo rozdělení - slovní úloha

#2 29. 01. 2018 19:35 — Editoval Jj (29. 01. 2018 22:07)

Re: Poissonovo rozdělení - slovní úloha

#3 29. 01. 2018 20:36

Re: Poissonovo rozdělení - slovní úloha

#4 29. 01. 2018 21:51 — Editoval Jj (29. 01. 2018 22:02)

Re: Poissonovo rozdělení - slovní úloha

#5 29. 01. 2018 22:38 — Editoval Hoostee (29. 01. 2018 22:43)

Re: Poissonovo rozdělení - slovní úloha

#6 29. 01. 2018 23:10 — Editoval Jj (29. 01. 2018 23:11)

Re: Poissonovo rozdělení - slovní úloha

#7 29. 01. 2018 23:13

Re: Poissonovo rozdělení - slovní úloha

Zápatí