Matematické Fórum

Mavic · 03. 02. 2018 19:20 — Editoval Mavic (03. 02. 2018 19:23)

Zdravím,
potřeboval bych trochu nápovědu a osvětlení určitých věcí, u kterých si nejsem jistý.

Zadání je následující: $2*x*y'=y+4$ Podmínka - $y(4)=0$

Dostal jsem se k tomuto kroku - $ln|y+4|=ln|2x|+lnC$
Další krok by tedy byl $x+4=C*8$
Constanta mi tedy vyjde $C=1/8$ - předpokládám, že tenhle krok už je špatný, nebo je to stále správně a řešením je pak $y=\frac{\frac{1}{8}2x}{4}$ ?

Poté tu mám rovnici, s kterou si opravdu moc nevím rady a kdyby mi někdo dal nějaký odkaz na postup, jak to dát do kupy, tak bych byl moc rád.

$y'*(1+x^{2})=-x*(3+y)$ s podmínkou $y(0)=1$

No a poté jeden příklad s limitou. Vypočítejte limity funkce v bodech, ve kterých není definovaná a v nevlastních bodech. $y=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}$

Předpokládám, že se tím myslí, že limita tedy směřuje k dvojce. Potom ta limita ale neexistuje. Co se tím míní, že mám s příkladem udělat?

Snad to tu od někoho poberu. :-)
Díky

Jj · 03. 02. 2018 21:39 — Editoval Jj (03. 02. 2018 21:40)

↑ Mavic:

Dobrý den.

- Jak u prvního příkladu dopadla zkouška?
- Rovnice ve druhém příkladu je stejného typu jako rovnice v prvním příkladu.
- Limita nikam nesměřuje. Mají se spočítat limity pro $x\to\pm2, x\to\pm\infty$ .

Mavic · 03. 02. 2018 22:51

Asi mám hloupou otázku, ale jak se provádí zkouška?

Ten druhý příklad mi tedy vyjde následovně: $\int_{}^{}\frac{dy}{3+y}dy=-\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x}{x^{2}-4}dx$

Po použití substituce a dalších úkonů mi vyjde: $3+y=C(x^{2}+1)$ (Jde mi o to, jestli tento krok je ještě správně či se pletu, když do tohoto kroku dosadím podmínku a vyjádřím si z toho C jako nějaký zlomek.

Děkuji

Mavic · 03. 02. 2018 22:55

↑ Jj:

Jediné co mě ještě napadlo, je ji počítat jako $\lim_{x\to2^{+}}(\frac{x^{2}}{x^{2}-4})$ , dvojku zleva a zase -2 zprava a zleva?

U toho nevlastního bodu mi tedy vyjde 1 a -1. Chápu to správně?

laszky · 03. 02. 2018 23:22

V nevlastnich bodech je limita vzdy 1, jednostranne limity jsou +nekonecno v +2+ a -2-, zatimco v bodech +2- a -2+ je limita -nekonecno.

Jj · 03. 02. 2018 23:36 — Editoval Jj (04. 02. 2018 00:54)

↑ Mavic:

Zkouška - vypočítanou funkci a její derivaci dosadit do původní rovnice (obě její strany se musí rovnat) + ověřit, zda y(4) = 0.

Druhý příklad - výsledek není správně.

Limity v nevl. bodech - podle uvedeného těžko soudit která je která, ale min. jedna není správně.

Edit - pozdě, ale nechám to.

Edit1 - ještě doplním: Odkaz

Mavic · 04. 02. 2018 09:15 — Editoval Mavic (04. 02. 2018 10:57)

Prosím Vás to je pěkné, že mi napíšete, že výsledek není správně, ale nemůžete mě prosím nějak nasměrovat? Pokouším se o tu zkoušku, ale nevychází mi, takže buď ji dělám špatně, nebo mám špatně výsledek. Nebo obojí.

V tom případě musím mít někde chybu v té integraci.

↑ laszky: - Děkuji, už jsem to pobral. :-)

↑ Jj: - Podle uvedeného to je tedy $\frac{1}{1-\frac{4}{x^{2}}}$ po vytknutí $x^{2}$ , tedy mi vyjde v nevlastních bodech jednička po dosazení + i - nekonečna. To jsem doufám pochopil. :-)

S tou rovnicí si ale pořád nevím rady..

Jj · 04. 02. 2018 10:54

↑ Mavic:

Řekl bych, že počítání "naslepo" bez vlastní kontroly (min. srovnání s výsledky) je docela ztráta času. Proto ji zdůrazňuji.

K prvnímu příkladu:

Řešení má splňovat podmínku: y(0) = 4 (tzn. pro x = 0 má být y = 4).
Tu očividně nesplňuje, takže dotaz na jeho správnost je zbytečný.
Mezivýsledek
$\ln |y+4|=\ln |2x|+\ln C\Rightarrow y = 2Cx -4 = C_1x-4$
taky nevyhoví zkoušce, takže není správný a někde před ním je chyba. Postup integrace rovnice $y'*(1+x^{2})=-x*(3+y)$ konkrétně neuvádíte, takže bych mohl jen hádat, kde asi.

Ke druhému příkladu:

U posledního kroku nevychází zkouška (ani nesouhlasí s výpočtem WA v doplněném odkazu) ---> je špatně.

Vámi uvedený předchozí krok (po opravě zřejmých překlepů) $\int \frac{dy}{3+y}=-\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^{2}+1}dx$ je v pořádku. Lze přímo integrovat
$\ln |3+y| = \ln C - \frac12 \ln |x^2+1| = \ln C - \ln \sqrt{x^2+1}$
atd.

Mavic · 04. 02. 2018 15:22

Máte pravdu, špatně jsem tu podmínku opsal. Každopádně děkuji za nápovědu, už jsem se k tomu dopracoval. Taky mi nějak vypadlo to pravidlo na logaritmy. Vypočítal jsem už oba.

Ještě jednom děkuji.

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2018 19:20 — Editoval Mavic (03. 02. 2018 19:23)

Diferenciální rovnice 1.řádu + limita

#2 03. 02. 2018 21:39 — Editoval Jj (03. 02. 2018 21:40)

Re: Diferenciální rovnice 1.řádu + limita

#3 03. 02. 2018 22:51

Re: Diferenciální rovnice 1.řádu + limita

#4 03. 02. 2018 22:55

Re: Diferenciální rovnice 1.řádu + limita

#5 03. 02. 2018 23:22

Re: Diferenciální rovnice 1.řádu + limita

#6 03. 02. 2018 23:36 — Editoval Jj (04. 02. 2018 00:54)

Re: Diferenciální rovnice 1.řádu + limita

#7 04. 02. 2018 09:15 — Editoval Mavic (04. 02. 2018 10:57)

Re: Diferenciální rovnice 1.řádu + limita

#8 04. 02. 2018 10:54

Re: Diferenciální rovnice 1.řádu + limita

#9 04. 02. 2018 15:22

Re: Diferenciální rovnice 1.řádu + limita

Zápatí