Matematické Fórum

KubaP · 09. 02. 2018 14:33 — Editoval KubaP (09. 02. 2018 14:38)

Ahoj, potřeboval bych poradit, jak rychle zjistím že se nějaký integrál s goniometrickými funkcemi rovná nebo nerovná nule? :)
Abych to přiblížil, tak zkonkrétizuji příklad..
Mám zadání zjistit počet řešení okrajové úlohy..
$u'' + 16u = 2\sin 12x + \sin 2x$
$u(0)=u(\frac{\pi }{4})=0$

zjistím jestli $\lambda =16$ je vlastní číslo a pak počítám $u_{k}=\sin \frac{k\pi x}{\frac{\pi }{4}}$
Protože vyšlo k = 1 tak $u_{1}=\sin 4x$ a počítám skalární součin $(f,u_{1})=2\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\sin (12x) \cdot \sin (4x)+\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\sin (2x)\cdot \sin (4x)$

Jak rychle zjistím že $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\sin (2x)\cdot \sin (4x)$ se nerovná 0?
Učil jsem se, že $\sin (2x)$ je $u_{\frac{1}{2}}$ a $\sin (4x)$ je $u_{1}$ a pokud se nerovnají, tak vyjde integrál roven 0.. jenže tady to neplatí.. pak jsem se někde dozvěděl, že pokud z $u_{k}$ to $k$ není přirozené číslo, tak se integrál nerovná nule.. ale to také neplatí vždy.. Tak jak to tedy je?

Ferdish

Neviem či ti to pomôže, ale pamätám si zo svojej diplomovky, že som v nej využil toto pravidlo pre integrál súčinu sínusov s rôznymi argumentmi na ľubovoľnom intervale dĺžky $L$ :

$\int_{0}^{L}\sin \frac{m\pi x}{L}\sin \frac{n\pi x}{L}\mathrm{d}x=\frac{L}{2}\cdot \delta _{mn}$

kde $n,m\in \mathbb{N}$ a $\delta _{nm}$ je Kroneckerova delta funkcia, pre ktorú platí

$n=m\Rightarrow \delta _{nm}=1\\ n \neq m\Rightarrow \delta _{nm}=0$

EDIT: opravená množina pre $m,n$

KubaP · 09. 02. 2018 16:42 — Editoval KubaP (09. 02. 2018 16:50)

Děkuji.. ale moc mi to nepomohlo..
Pokud to chápu správně, tak při převedení na můj vzorec pro $u_{k}$ to říká, že když se ty u-kčka nerovnají, tak vyjde integrál roven nule jinak ne.. to je jen jiná interpretace toho co jsem psal nahoře a z nějakého důvodu to nestačí.. protože to na tenhle příklad nefunguje.. ale možná jsem špatně pochopil co jsi napsal :)

Že se Kroneckerova delta rovná 1 platí, protože tam vyjde čtverec a ten je vždy kladný, takže to mi stačí k tomu vědět, že to není rovno nule.. Ale je dobré vědět že se ta hodnota rovná L/2 :)

laszky · 09. 02. 2018 17:56

↑ KubaP:

Tak specialne u toho tvyho integralu je videt, ze $\sin(2x)>0$ na $(0,\pi/2)$ a $\sin(4x)>0$ na $(0,\pi/4)$ , takze i $\int_0^{\pi/4}\sin(2x)\sin(4x)\mathrm{d}x>0$ .

KubaP · 09. 02. 2018 18:21

↑ laszky:
Můžeš to prosím rozepsat?

laszky · 09. 02. 2018 18:29

↑ KubaP:

Obe dve funkce jejichz soucin integrujes jsou kladne na intervalu $(0,\pi/4)$ , jejich soucin je proto taky kladny a integral z kladne funkce je rovnez kladny. To, ze jsou ty funkce kladne, je jasne? ...funkce $\sin(x)$ je kladna na $(0,\pi)$ , takze funkce $\sin(kx)$ je kladna na $(0,\pi/k)$ ;-)

KubaP · 09. 02. 2018 19:27

Chápu, díky :)
Pokud by integrál byl do větší hodnoty než 45°, pak by to použít nešlo? (Předpokládám, že by už $\sin(4x)$ nespadal do podmínky $(0,\pi/4)$ )

Pokud se vrátím k mému původnímu postupu viz úplně nahoře, nevíte někdo v čem je problém?

laszky · 09. 02. 2018 20:21

Kdyby ten integral byl do $\pi/2$ , tak zas muzes pouzit ten vztah od Ferdishe s $L=\pi/2$ , $m=1$ , $n=2$ . K tomu prikladu. Pokud mas opravdu za ukol pouze zjistit pocet reseni okrajove ulohy, potom se jedna spis o teoreticky problem a nemelo by se nic pocitat, ne? Jinak vidim, ze ses snazil pouzit Fourierovu metodu (myslim, ze chybne). V tomto pripade je ale vhodnejsi pouzit metodu pro specialni pravou stranu.

KubaP · 09. 02. 2018 21:02

Ano nemá se nic počítat.. metoda by měla být správně, když zjistím jestli se integrál rovná nule, tak existuje nekonečno řešení.. pokud se nerovná nule, tak řešení neexistuje.. pokud by lambda nebylo vlastní číslo respektive "k" by nebylo přirozené číslo, pak by existovalo jediné správné řešení.. to je úkolem příkladu

Ale já potřebuji zjistit, kde je chyba v postupu při porovnávání argumentů v sinu s předpisem u(k)
Protože pokud by mi vyšli obě u(k) přirozené a rozdílné, pak vím jistě, že integrál vyjde nula :)

laszky · 09. 02. 2018 21:59

Ok, tak o tomto postupu jsem neslysel. Ale pokud jde o vypocet tech integralu, tak je vzdy treba upravit ty goniometricke funkce tak, aby mely stejny argument a pak vyuzit vhodnou substituci. Protoze tam mas dva integraly, tak ti bude vcelku k nicemu vedet, ze jsou oba dva nenulove (muzou se secist ne nulu), proto je budes muset asi spocitat presne. Ten Ferdischuv vzorec je dobrej a muzes ho vyuzit v rade jinych pripadu, v tomhle bohuzel ne. :-/

KubaP · 10. 02. 2018 03:32 — Editoval KubaP (10. 02. 2018 03:34)

Vtip je v tom, že tento postup lze aplikovat na oba integrály zvlášť, právě protože je příklad stanovený tak, aby byly v integrálech násobky stejných funkcí.. Takže já pak snadno touto metodou zjistím, že první integrál ve skalárním znění 2*(u[3],u[1]) = 0 a druhý by měl touto metodou říct (u[1/2],u[1]) (nerovná se) 0
Pak už jen rychle vím, že 2*(0)+(nenula) = nenula a výsledkem je,že řešení neexistuje :)
Pokud by nebyly v integrálech násobky stejných funkcí, pak bych musel integrály spočítat.. ale moje otázka spočívala v tomto rychlém řešení.. učil jsem se to tak, ale zřejmě tam jsou další podmínky o kterých nevím.. problém nastává, pokud je "k" z u[k] iracionální..

Matematické Fórum

#1 09. 02. 2018 14:33 — Editoval KubaP (09. 02. 2018 14:38)

Rychle zjisti, zda se integrál rovná nebo nerovná nule

#2 09. 02. 2018 15:59 — Editoval Ferdish (10. 02. 2018 18:13)

Re: Rychle zjisti, zda se integrál rovná nebo nerovná nule

#3 09. 02. 2018 16:42 — Editoval KubaP (09. 02. 2018 16:50)

Re: Rychle zjisti, zda se integrál rovná nebo nerovná nule

#4 09. 02. 2018 17:56

Re: Rychle zjisti, zda se integrál rovná nebo nerovná nule

#5 09. 02. 2018 18:21

Re: Rychle zjisti, zda se integrál rovná nebo nerovná nule

#6 09. 02. 2018 18:29

Re: Rychle zjisti, zda se integrál rovná nebo nerovná nule

#7 09. 02. 2018 19:27

Re: Rychle zjisti, zda se integrál rovná nebo nerovná nule

#8 09. 02. 2018 20:21

Re: Rychle zjisti, zda se integrál rovná nebo nerovná nule

#9 09. 02. 2018 21:02

Re: Rychle zjisti, zda se integrál rovná nebo nerovná nule

#10 09. 02. 2018 21:59

Re: Rychle zjisti, zda se integrál rovná nebo nerovná nule

#11 10. 02. 2018 03:32 — Editoval KubaP (10. 02. 2018 03:34)

Re: Rychle zjisti, zda se integrál rovná nebo nerovná nule

Zápatí