Matematické Fórum

firework5555

Dobry vecer,

prosim Vas vedeli by ste mi poradit, ci mam dobre prevod na valcove suradnice a nasledne odvozeni vzorce objemu pro valec?

x = r cos t
y = r sin t
z = z (vyska valce)
t je z intervalu (0,2pi), r je polomer valce, z vyska valce, su to kladne cisla

pak determinant jakobianu je J = r cos^2(t)

a objem by som spocital ako:

V = $\int_{0}^{z} \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{r} r cos^{2} (t) dr dt dz.$

je to prosim OK?
Dakujem Vam za rady

laszky · 10. 02. 2018 22:57 — Editoval laszky (10. 02. 2018 22:57)

Nemas to dobre. Ten determinant je det J = r. A taky mas spatne ty integracni meze. Nemuzes integrovat

$\int_0^r ... \mathrm{d}r$

Musis tam mit maximum toho polomeru, tj napr.

$\int_0^R ... \mathrm{d}r$

Podobne s tou vyskou valce.

firework5555 · 11. 02. 2018 09:40

jo moc diky, uz mi to tedy vychazi :) myslel som si, ze ten jakobian bude z matice 3x3 ... ze sa tam beru i derivace dle z, ale tedy vidim, ze ne

Jj · 11. 02. 2018 10:25

↑ firework5555:

Zdravím. Řekl bych, že z matice 3x3 vyjde J = r. Asi se vloudila chybka.

Ferdish

↑ firework5555:
On ten jakobián je z Jacobiho matice 3x3, lenže keď si ju rozpíšeš a začneš počítať jednotlivé parciálne derivácie, zistíš že $\frac{\partial x}{\partial z}=\frac{\partial y}{\partial z}=\frac{\partial z}{\partial r}=\frac{\partial z}{\partial t}=0$ a $\frac{\partial z}{\partial z}=1$

Keď si následne determinant rozvinieš podľa prvkov tretieho riadku (alebo stĺpca), tak sa ti to zredukuje na determinant Jacobiho matice 2x2 identický s jacobiánom polárnych súradníc.

V tom práve spočíva "krása" jacobiánu polárnych a valcových súradníc, že sú totožné :)

Matematické Fórum

#1 10. 02. 2018 22:47 — Editoval firework5555 (10. 02. 2018 22:50)

objem valce - valcove souradnice

#2 10. 02. 2018 22:57 — Editoval laszky (10. 02. 2018 22:57)

Re: objem valce - valcove souradnice

#3 11. 02. 2018 09:40

Re: objem valce - valcove souradnice

#4 11. 02. 2018 10:25

Re: objem valce - valcove souradnice

#5 11. 02. 2018 10:37 — Editoval Ferdish (11. 02. 2018 10:38)

Re: objem valce - valcove souradnice

Zápatí