Matematické Fórum

Vilak · 12. 02. 2018 23:56

Zdar borci, řeším zrovna algebraické výrazy, kde mám zadání "rozklad na součin". Se všemi jsem si dřív nebo později poradil, ale u několika to bylo jen díky tomu, že jsem už věděl výsledek, takže jsem mohl jít odzadu.

Chci se zeptat, je nějaká obecná metoda, jak rozkládat na součin, pokud v tom nevidím zrovna nějaký známý vzorec? Měl jsem problém s těmito příklady a vyřešil jsem je až jsem na to šel od výsledku.
$a^{6}-b^{6}$
$xz-yz-x^{2}+2xy-y^{2}$

Je nějaká možnost, abych na to došel třeba i bez znalosti vzorců "na druhou", "na třetí" apod.? Existuje nějaká obecná metoda, jak rozložit polynomy na součin, pokud rozložit na součin jdou? Nebo musím jen tupě zkoušet to, co mě napadne?

Byl bych rád, kdybyste mě klidně i na něco odkázali. Všechny výsledky s odkazy na součin jsem našel jen tak pro 7. třídu, kde radí, jak na základní vzorce.

Předem děkuji za odpovědi! ;)

gadgetka · 13. 02. 2018 00:12

Ahoj, Vilaku, a algebraických výrazů jde o grif ... čím víc příkladů vyřešíš, tím ti bude jasnější postup řešení. A znalost vzorečků, si myslím, je tady nutná.

$a^{6}-b^{6}=(a^3)^2-(b^3)^2$
Jde o rozdíl čtverců, čili vzoreček $a^2-b^2$ a po rozložení použiješ vzorečky na $a^3-b^3$ a $a^3+b^3$

nebo opačným postupem:
$(a^2)^3-(b^2)^3$

$xz-yz-x^{2}+2xy-y^{2}$

rozdělíš na dva:
$xz-yz$ , kde vytkneš $z$

$-x^{2}+2xy-y^{2}$ , kde vytkneš $-1$ a použiješ vzoreček $(a-b)^2$

... pak už stačí vytknout závorku, kterou budou mít oba činitelé společnou... :)

Vilak · 13. 02. 2018 00:14

Děkuji za odpověď. Psal jsem, že příklady mám již vyřešené, ale popravdě než jsem na tyto dva došel, trvalo mi to dobrých 20 minut.

Takže neexistuje nějaká obecná metoda a jde hlavně o grif, ano?

laszky · 13. 02. 2018 01:04 — Editoval laszky (13. 02. 2018 01:42)

↑ Vilak:

Lze taky vyuzit napr.

$a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$

$a^{2n+1}+b^{2n+1} = (a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-\cdots -ab^{2n-1}+b^{2n})$

Jinak rozklady na soucin vetsinou chteji napad. Casto pomuze zkusit do nejakeho polynomu p(x,y,z) dosadit napr. y=x a pokud zjistis, ze p(x,x,z)=0, potom vis, ze z polynomu p(x,y,z) lze vytknout zavorku (x-y).

MichalAld · 13. 02. 2018 09:49

Vilak napsal(a):
Chci se zeptat, je nějaká obecná metoda, jak rozkládat na součin, pokud v tom nevidím zrovna nějaký známý vzorec?

Já myslím, že univerzální metoda je "jednoduchá":

1) Uhodnout výsledek
2) Ověřit jestli je správný (to je jen násobení)

check_drummer · 14. 02. 2018 22:00

Vilak napsal(a):
Takže neexistuje nějaká obecná metoda a jde hlavně o grif, ano?

Jelikož neexistuje obecná metoda na řešení polynomiální rovnice tak neexistuje ani obecná metoda pro rozklad na součin.

MichalAld · 14. 02. 2018 22:32

↑ Vilak:
Prostě to v tom musíš vidět. Když někde uvidíš výraz tvaru $x^2 + 2xy + y^2$ , musí tě hned napadnout, že tohle se dá rozkládat. Když je to něco podobného, tak zkusit, jestli to nepůjde upravit tak, abys dostal co rozložit půjde.

Já nevím, jestli lze rozložit cokoliv. Spíš mi to připadá, že lze takto rozkládat jen několik málo speciálních případů - že jsou to vlastně takové vyumělkované příklady.

Ale například polynom v jedné proměnné lze rozložit vždycky. Jen musíš najít jeho kořeny - a to se musí zpravidla udělat numericky. Ale to v příkladech většinou není.

Mě třeba ten příklad
$xz-yz-x^{2}+2xy-y^{2}$
přijde tak nějak úplně automaticky. Vpravo vidím, že je to skoro $(x-y)^2$ , jen tam musím otočit ta znaménka. A pak se kouknu doleva a vidím, že po vytknutí z dostanu taky (x-y). Tak si to člověk napíše a zbytek už je skoro jasný.

Žádná lepší metoda asi není. Prostě hledat v tom něco z těch známých vztahů (je jich jen pár) a zkoušet, jestli to někam povede. Čím víc těch vztahů budeš znát, tím více příkladů pochopitelně zvládneš. Já si na střední škole vystačil v podstatě se vzorci:
$(x \mp y)^2$
$(x+y)(x-y)$
$(x+a)(x+b)$
a v krajním případě ještě
$(ax+by)(cx+dy)$
$(x\mp y)^3$

Ale časy se mění a možná je toho dnes někde potřeba i více. Na to, co uvádíš by to ale stačilo.