Matematické Fórum

vanok · 24. 11. 2016 18:44

Pozdravujem.
Najdite maticu $A$ taku, ze
$A^2= \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 8 & 2 & 4 \end {pmatrix}$
( hladajte A diagonizabilnu )

vanok · 27. 11. 2016 14:43

Ako ste si vsimli som poradil vysetrit A diagonizablu. Inac by mohlo napadnut niekomu pracovat z deviatymi koef. matice A... a to nerobte, lebo to je otrocina!

laszky · 09. 02. 2018 23:15

Sice to je starsi dotaz, ale prece... Obecny postup je nasledujici. Nejdrive nalezneme vlastni cisla a vlastni vektory matice B, tj. vsechny dvojice $(\lambda_j,\boldsymbol{u}_j)$ takove, ze

$\mathbb{B}\boldsymbol{u}_j=\lambda_j\boldsymbol{u}_j$ .

Oznacime-li $\mathbb{P}$ matici, jejiz sloupce jsou tvoreny vektory $\boldsymbol{u}_j$ , a $\Lambda$ diagonalni (resp. Jordanovu) matici, ktera ma na diagonale vlastni cisla matice $\mathbb{B}$ , potom muzeme psat

$\mathbb{B}\mathbb{P}=\mathbb{P}\Lambda$ , neboli $\mathbb{B}=\mathbb{P}\Lambda\mathbb{P}^{-1}$ . Je videt, ze $\mathbb{B}^{k}=\mathbb{P}\Lambda^{k}\mathbb{P}^{-1}$ , a lze dokazat, ze to plati nejen pro k cele, ale i racionalni a take realne. Tedy i pro k=1/2. Zbyva tedy zjistit odmocninu z matice $\Lambda$ . Pokud je $\Lambda$ diagonalni, potom je celkem lehke spocitat jeji odmocninu - proste odmocnime diagonalni prvky. V pripade obecne Jordanovy bunky je situace o trochu tezsi.

V tomto konkretnim pripade ziskame $\Lambda = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&4\end{array}\right)$ a $\mathbb{P} = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\ 1/2&1&0\\ -3&-2&1\end{array}\right)$ . Potom

$A = \mathbb{P}\Lambda^{1/2}\mathbb{P}^{-1} = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\ (1-\sqrt{3})/2&\sqrt{3}&0\\ 1+\sqrt{3}&4-2\sqrt{3}&2\end{array}\right)$

A samozrejme, resenim je i matice -A.

vanok · 15. 02. 2018 17:30 — Editoval vanok (15. 02. 2018 17:34)

Ahoj ↑ laszky:, ( je jedna vec na ktoru casto zabudas! A to je pozdrav. Aj na fore mozme ukazat, ze sa vieme slusne chovat) 🙂
Myslis, ze si nasiel vsetki riesenia?

vanok · 16. 02. 2018 14:17

↑ vanok:
Pokracovanie.
↑ laszky:
Skus nast 8 roznych rieseni.

vanok · 26. 02. 2018 11:10

Ako mozem konstatovat zatial tu nemame dobre riesenie daneho cvicenia. Tak tu pridavam o mnoho jednoduchsie cvicenie, ktore vam iste potom pomoze najst riesenie predosleho cvicenia.
Najdite 8 roznych matic A takych, ze
$A^2= \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end {pmatrix}$ .

laszky · 26. 02. 2018 14:40 — Editoval laszky (26. 02. 2018 15:21)

↑ vanok:

Velice prenadherny den preji.

V puvodnim zadani nebylo "najdete vsechna reseni".
Samozrejme staci uvazovat vsechny kombinace znamenek u diagonalnich prvku matice $\Lambda^{1/2}$

S mnoha srdecnymi pozdravy,

Laszky.

vanok · 26. 02. 2018 15:50

Pozdravujem ↑ laszky:,
Ano v tom mas pravdu, ale je nepisanym zvykom urobit co najkompletnejsiu diskuziu cviceni polozenych problemov v tejto casti fora.... presne tak ake mozu byt ocakavania na roznych skuskach na vysokej skole.
Pripajam citatelom fora cakanu odpoved

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2016 18:44

Druhe odmocniny

#2 27. 11. 2016 14:43

Re: Druhe odmocniny

#3 09. 02. 2018 23:15

Re: Druhe odmocniny

#4 15. 02. 2018 17:30 — Editoval vanok (15. 02. 2018 17:34)

Re: Druhe odmocniny

#5 16. 02. 2018 14:17

Re: Druhe odmocniny

#6 26. 02. 2018 11:10

Re: Druhe odmocniny

#7 26. 02. 2018 14:40 — Editoval laszky (26. 02. 2018 15:21)

Re: Druhe odmocniny

#8 26. 02. 2018 15:50

Re: Druhe odmocniny

Zápatí