Matematické Fórum

1jirka22 · 22. 02. 2018 09:56

Dobrý den,

jaktože $\log_a{b} . \log_b{a} = 1$ ?
Jak to dokázat?

Děkuji

vlado_bb · 22. 02. 2018 10:01

↑ 1jirka22: Oznac si napriklad $\log_a{b} = x, \log_b a = y$ , vyuzi definiciu logaritmu a uvidis, ze $xy=1$ .

1jirka22 · 22. 02. 2018 10:25

↑ vlado_bb:
Právě, že to v tom nevidím

vlado_bb · 22. 02. 2018 10:46

↑ 1jirka22: Tak napis svoje doterajsie uvahy a zistime, v com je problem.

Rumburak

↑ 1jirka22:

Ahoj.

Z $\log_a{b} = x, \log_b a = y$ postupně plyne $b = a^x, a = b^y$ , takže

$b^1 = b = a^x = (b^y)^x = b^{yx}$ , tedy $b^1 = b^{yx}$ .

Pi tom funkce $t \mapsto b^t$ je prostá (neboť $b > 0$ a různo od 1 , jinak by nemohla
existovat logaritmická funkce při základě $b$ ).

Nyní zbývá k dokončení důkazu už jen malý krůček.

vlado_bb

↑ Rumburak: Dakujem, ale ja som s tym problem skutocne nemal. Myslel som to presne rovnako, len som chcel dat zadavatelovi sancu prezentovat vlastne uvahy. A k rieseniu podla mna nezostava maly krocik - kompletne niesenie je uz hotove.

Rumburak · 22. 02. 2018 10:59

↑ vlado_bb:

Ach, ta moje roztržitost ... :-)

vlado_bb · 22. 02. 2018 11:04

↑ Rumburak: No nic, chcel som iba dat zadavatelovi moznost nieco sa naucit. Tak snad nabuduce...

1jirka22 · 22. 02. 2018 14:10

↑ Rumburak:
Děkuji,
k tomuto jsem taky došel, že $b=b^{xy}$ , takže teď stačí $1=xy$ , tudíž $\frac{1}{x}=y$ a takže $1=x^{-1}x$ ?

Rumburak

↑ 1jirka22:

Tím $1=xy$ důkaz končí (vzhledem k tomu, jak byla definována čísla x, y). Ono

tudíž $\frac{1}{x}=y$ a takže $1=x^{-1}x$ ?

je tam už navíc.

laszky · 22. 02. 2018 18:36 — Editoval laszky (22. 02. 2018 22:29)

Me napadlo vyuzit napr. $\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}$ .

Matematické Fórum

#1 22. 02. 2018 09:56

Logaritmus čísla

#2 22. 02. 2018 10:01

Re: Logaritmus čísla

#3 22. 02. 2018 10:25

Re: Logaritmus čísla

#4 22. 02. 2018 10:46

Re: Logaritmus čísla

#5 22. 02. 2018 10:55 — Editoval Rumburak (22. 02. 2018 11:00)

Re: Logaritmus čísla

#6 22. 02. 2018 10:56 — Editoval vlado_bb (22. 02. 2018 11:01)

Re: Logaritmus čísla

#7 22. 02. 2018 10:59

Re: Logaritmus čísla

#8 22. 02. 2018 11:04

Re: Logaritmus čísla

#9 22. 02. 2018 14:10

Re: Logaritmus čísla

#10 22. 02. 2018 15:54 — Editoval Rumburak (23. 02. 2018 11:21)

Re: Logaritmus čísla

#11 22. 02. 2018 18:36 — Editoval laszky (22. 02. 2018 22:29)

Re: Logaritmus čísla

Zápatí