Matematické Fórum

H2O · 23. 02. 2018 21:47

Dobrý den,
řeším úlohu 17

ze
SCIO únor 2018.

Můj postup:
$\sin ^{2}x+\sin ^{2}2x=1-\cos^{2}x$
$\sin ^{2}x+\sin ^{2}2x=\sin ^{2}x$
$\sin ^{2}2x=0$

Nyní nevím, jak postupovat dál kvůli druhé mocnině na sinu.

Vyřešit umím
$\sin x=0$
to by bylo v zadaném intervalu $x_{1}=0; x_{2} = \pi$

dále
$\sin 2x=0$

Když to tak píšu, uvědomuju si, že bych si měl zopakovat substituci (hlavně tedy desubstituci, nejvíc periodu).

Vzkaz Váženým čtenářům :)
Vím, že bych si to možná i celé mohl najít sám.
Už několik příkladů jsem tu chtěl napsat, ale vždy jsem se ještě zamyslel a nakonec to objevil.
Hlavně chci dobře napsat SCIO, které píšu příští sobotu, aby měl přijali na VŠ.
Jestli je tu nějaká speciální sekce na SCIO, omlouvám se, že jsem ji nenašel.

Hlavně by mě zajímaly Vaše postřehy ke SCIO.
Za mě bych zmínil nestydět se přeskočit úlohu, která mě nejde vypočítat. Neztrácet čas. Toho jsem se už skoro zbavil.
Co jsem se dneska hodně naučil je pořádně si přečíst zadání. Spousta úloh bylo hrozně lehkých, ale jak jsem špatně četl zadání, nemohl jsem na to přijít. A pak jsem se musel sám sobě smát :)
To pozorné čtení zadání zmíním ještě jednou, protože jsem se na jedno zběžně podíval, vyhodnotil jako těžší a přeskočil. Přitom to bylo tak primitivní.
Děkuji všem, co to přečetli a budu rád za jakoukoli reakci.

gadgetka

Ahoj,
$\sin^2{2x}=(2\sin x\cos x)^2$

nebo

$\sqrt{\sin^2 {2x}}=|\sin 2x|$
a zavedeš substituci $2x=t$

zdenek1 · 23. 02. 2018 23:31

↑ H2O:
Tvůj postup je dobře, jen musíš udělat poslední krok (a žádnou substituci k tomu ve skutečnosti nepotřebuješ)
$\sin 2x=0\ \Rightarrow\ 2x= k\pi\ \Rightarrow\ x=k\frac\pi2$
a pak už jen dosazuješ a počítáš $k=0,1,2,3$

H2O · 24. 02. 2018 11:23

↑ zdenek1:
Ona je to taková substituce nesubstituce. Stačí si to představit v hlavě ( $2x=a$ ).
Díky, tohle je mi už jasné.

↑ gadgetka:
$\sin^2{2x}=0$
$(2\sin x\cos x)^2=0$
Nevím jestli si můžu dovolit následující:
Kdy bude levá strana rovna nule? Tehdy když se závorka bude rovnat nule.
tedy
$2\sin x\cos x=0$
a pak řeším zvlášť
$\sin x=0$ a $\cos x=0$
a dostávám:
$x_{1}=0; \text{ }x_{2} = \frac{\pi}{2}; \text{ }x_{3}=\pi; \text{ }x_{4} = \frac{3\pi}{2}$
Což odpovídá správné odpovědi 4 možnosti.

Ještě mě napadlo to řešit pomocí derivace.
Samozřejmě je to zbytečně zdlouhavé, ale rád vyzkouším různé cesty.
V bodech, kde funkce nabývá hodnoty 0 jsou inflexní body.
Vypočítám proto druhou derivaci a položím ji nule.
$\ldots$
$y''=\cos 4x$
$\cos 4x = 0$
vyjde mi
$\frac{1+4k}{8} \pi$
po dosazení
$x_{1}=\frac{1}{8}\pi;\text{ }x_{8} = \frac{5}{8}\pi;\text{ }x_{3}=\frac{9}{8}\pi;\text{ }x_{4} = \frac{13}{8}\pi$

Rovněž vychází 4 řešení, ale jsou různá, takže někde bude evidentně chyba.
Co jsem udělal špatně?

misaH · 24. 02. 2018 11:38

↑ H2O:

Deriváciou podľa mňa zisťuješ extrémy a nie priesečníky s x.

Okrem toho veď stačí urobiť skúšku.

Čo máš proti zdeňkovmu riešeniu? Načo sto rokov počítať úpravami, keď (kvôli 0 na pravej strane) sa dá úloha vyriešiť okamžite?

H2O · 24. 02. 2018 12:20

↑ misaH:
První derivací zjišťuju extrémy. Druhou inflexní body. Zjednodušeně řečeno.
Aspoň tak jsem to byl naučen.

Na zkoušku jsem úplně zapomněl, děkuji.

Proti Zdeňkově řešení nemám vůbec nic.
Naopak mu děkuji, protože příště už to můžu počítat rychleji, neboť nebudu ztrácet čas zbytečným vypisováním dílčích kroků, když to jde udělat rovnou. :)

Ale zpět k té derivaci:
Uvažoval jsem, že sinus mění konvexnost a konkávnost pro $y=0$ . Tudíž že když najdu inflexní body, najdu i průsečíky s osou x.
V čem je chyba?

Už vím. To by platilo pro $\sin 2x=0$ , ale ta druhá mocnina to mění. Je to správně?

Ale každopádně je to zbytečně zdlouhavé.

Matematické Fórum

#1 23. 02. 2018 21:47

Goniometrická rovnice – SCIO únor 2018 (Úloha 17)

#2 23. 02. 2018 23:09 — Editoval gadgetka (23. 02. 2018 23:27)

Re: Goniometrická rovnice – SCIO únor 2018 (Úloha 17)

#3 23. 02. 2018 23:31

Re: Goniometrická rovnice – SCIO únor 2018 (Úloha 17)

#4 24. 02. 2018 11:23

Re: Goniometrická rovnice – SCIO únor 2018 (Úloha 17)

#5 24. 02. 2018 11:38

Re: Goniometrická rovnice – SCIO únor 2018 (Úloha 17)

#6 24. 02. 2018 12:20

Re: Goniometrická rovnice – SCIO únor 2018 (Úloha 17)

Zápatí