Matematické Fórum

↑ BobMarley:

Vyjděme z předpokladu, že Tvé otázky jsou očíslovány od 1 do 7.

Ad 1.  Máme-li se stát dobrými počtáři limit, znát samotnou definici limity k tomu nestačí
Dokonce lze říci, že zjišťovat limitu pomocí definice limity je ten nejméně efektivní způsob.
Je potřeba též znát přinejmenším příslušné věty o limitách a procvičováním si vypěstovat
zkušenost. Ve složitějších případech nutno mít i další znalosti z matematické analýzy.


Ad 2. Mohlo by se to tak říci. Ale jak jsem už dnes napsal jinde, "neurčitý výraz" je pojem
patřící spíše do matematického metajazyka než do odborného jazyka.  V matematické praxi
rozlišujeme několik úrovní jazyka:

- formální nebo též symbolický jazyk, vyjadřující pomoci zavedených symbolů, jakými jsou
např. symboly pro matematické pojmy a
výroky o nich;

-odborný jazyk,  čož je běžný jazyk obohacený o matematické pojmy a soustředící se na
přesné formulace matematických definic a vět ;

- metajazyk matematiky,  což je jazyk, jímž hovoříme třebas i nezávazně o matematice a
jejích pojmech jako o čemkoliv jiném ,   např. 

         "Kvadraticku rovnici jsme probírali už na SŠ.", 
         "Tu definici limity funkce jsem už pochopil.",
         "Integrál je důležitým nástrijem fyziky. " atd.
Nebo typičtější příklad:  Místo toho, bychom přesně citovali příslušnou větu z teorie řad, řekneme
stručněji "Cauchyovo kriterium konevence je silnější než d'Alembertovo .

Ad 3.  Hodnota limity funkce v daném bodě obecně nijak nesouvisí s funkční hodnotou
v tomto bodě. Případ, kdy jsou obě hodnoty konečné a jsou si rovny, znamená, že jde o
funkci spojitou v daném bodě. Finkce signum ovšem v bodě 0 spojitá není. Doporučuji
nalistovat si někde její definici a podle ní si načrtnout její graf.

Pokračování případnš zítra.

Marian napsal(a):

BobMarley napsal(a):

↑↑ Rumburak:
Máte pravdu, našel jsem na anglické wikipedii definici od Moigna, který říká něco v tomto smyslu:
Pokud po dosazení do předpisu limity vznikne výraz, pak tento výraz je neurčitý, jestliže neposkytuje dostatek informací k určení limity.

A v případě derivace konstanty, dostatek informací k určení limity máme. Proto se nejedná o neurčitý výraz.
Souhlasíte?

Už dlouho jsem horší radu pro výpočet limit nečetl (samozřejmě za to neodsuzuji tebe). To poukazuje především na fakt, že informace na Wikipedii je nutno brát se značnou rezervou.

Mě to přijde skoro správné (když se pár slov trochu upraví). Tj:

Pokud po dosazení (toho čísla x, ve kterém máme počítat limitu funkce) dostaneme výraz, jehož hodnotu nelze určit, je to neurčitý (= neurčitelný) výraz.

Vlastně to s limitou nesouvísí. Limita je až to, že hodnotu našeho (neurčitelného) výrazu dokážeme určit podle toho, jak funkce vypadá v okolí bodu x. Když máme teda štěstí. Jenže tím ta "neurčitost" nezmizí, jen jsme z "nemožnosti určit" dostali "nemožnost jednoznačně určit".

Když štěstí nemáme, no tak limitu prostě neurčíme. Jistě existují myriády nějakých vzorců, které vypadají, že by to mohly být funkční předpisy, a v nějakém bodě x nám dají "neurčitý" výraz. A jeho hodnotu nelze určit ani podle tvaru funkce v okolí x nebo to v okolí x vůbec není funkce. Ale to dopředu nevíme (jen ve škole asi ano, tam snad vždy dostaneme k počítání nějakou "rozumnou" funkci.


Já bych tedy neviděl až takový problém v tom, co že to vlastně je "neurčitý výraz" jako spíš v tom, že o nějakém vzorci děláme automaticky předpoklady, které nemusí platit - jako že ta limita existuje, nebo že v okolí vyšetřovaného bodu představuje vztah nějakou "rozumnou" funkci (nebo prostě jen funkci). Nic z toho nemusí být pravda. A ta neurčitost (neurčitelnost) výrazu může klidně zahrnovat i tyhle varianty. Proč by nemohla.

↑ BobMarley:
No, nemyslel jsem tím nic speciálního, jen to, že když máme výraz třeba 0/0, který nám matematika (algebra ? - nevím přesně, do kterého oboru spadá dělení čísel) nedokáže určit, jakou má hodnotu, tak tím, že spočítáme limitu nějaké funkce v bodě, kde "dává" neurčitý výraz hodnotu tohoto výrazu nezjistíme (protože jiná funkce bude mít v bodě kde "dává neurčitý výraz" jinou hodnotu limity (jinou hodnotu neurčitého výrazu).
Spíš tedy tak, že hodnotu "neurčitého výrazu" dokážeme určit, jenže s každou funkcí ji určímě nějak jinak.

BobMarley napsal(a):

Tím myslíte například zmíněnou funkci ?

No jo, třeba, ale určitě lze vymyslet i mnohem exotičtější definice.

Třeba mě napadá taková hezká funkce,



Jakou to má limitu pro x->0 ?

↑ MichalAld:
neexistuje.

V tom druhém případě x/x = 1 (jedná se o neurčitý výraz, který jsme ale krácením dokázali odstranit - využili jsme větu o limitě rovnosti dvou funkcí). Takže limita pořád neexistuje.

Ale trochu mě pořád trápí jiný problém viz : když řeším tuto limitu, tak analyzuji funkci sinus pro x jdoucí k nekonečnu (na pozadí tedy vlastně využívám větu o limitě složené funkce).

Mnohem zajímavější je podle mě například funkce signum (x).
Kdybych si nedokázal představit graf, tak limitu "neurčím".
Mohl bych tedy funkci signum nahradit výrazem |x|/x nebo počítat jednostranné limity a podle nich rozhodnout o limitě a její existenci.

K mé otázce: Typicky prvním krokem v "obecném" postupu při výpočtu limity je dosazení do funkce -
Podle mě ale nelze jen tak bezmyšlenkovitě dosadit do limity funkce a čekat "co se stane" (věta o limitě spojité funkce v bodě), protože i když získáme nějakou (ne)konečnou hodnotu, pak tato hodnota nemusí být limitou,nesplnili jsme předpoklad pro možnost využití věty o limitě spojité funkce, a proto ji nelze využít. Jenže pro to, abych mohl zjistit, zda danou větu lze využití musím tu funkci po jejím zadání podrobit nějaké analýze - sestavit alespoň hrubý graf, zjistit definiční obor, ....

↑ MichalAld:
Takže byste souhlasil s tvrzením, že po zadání příkladu s limitou je řekněme nultým krokem, její základní analýza - sestavit alespoň hrubý graf, zjistit definiční obor, případně body nespojitost, prostě cokoliv, co mi poskytne nějakou informací o chování funkce na okolí daného bodu? A až po této základní analýze se rozhodnu, jakou cestou by mohlo mít smysl se vydat (a využít k tomu příslušné věty z teorie limit) - tam už to záleží na zkušenostech (podobně jako například s integrály).

↑ MichalAld:
pořád mi nejde z hlavy funkce signum na okolí bodu 0. Když dosadím hned v prvním kroku, jak radí "obecné" postupy, pak mi vyjde nule. Vím, že limita je lokální vlastnost a popisuje chování na okolí bodu, ale když se nebudu zajímat o to okolí, tj nebudu analyzovat funkci (v tomto případě grafem), tak tu limitu určím prostě špatně.

↑ MichalAld:
My jsme to taky nikdy nedělali, ono pak trochu postrádalo smysl se výpočtem limity zabývat, kdybych dokázal nakreslit graf funkce (alespoň na okolí limitního bodu).
Kdybych měl tedy čistě algebraicky spočítat limitu funkce signum(x) pro x -> 0, pak mě napadá nahrazení (úprava) funkce signum výrazem |x|/x na R\{0}. Tím by se mi příklad rozpadl na dvě limity a určoval bych vlastně jednostranné limity.

Ale v případě  limity funkce (Marian) pro x->0 už situace tak snadná není.

Uznávám, že neřešíme "normální" funkce, které jsou spojité na svých definičních oborech  a se kterými se ve většině případů setkáme. Pak existuje druhá skupina limit, které "nejsou normální", kde bych s daným klasickým přístupem záhy nepochodíme (vypočítám s pocitem, že mám správný výsledek, ale ve skutečnosti nemám). Jak tu skupinu poznat? Napadá mě jedině snad opravdu ta analýza, nebo zkušeností.

↑ MichalAld:
Jinými slovy: moc nad tím přemýšlím
Asi se prostě musím vnitřně smířit s tím, že existují nerozumné (typicky neskolni) funkce , které se vymykají  běžným přístupum a bez prvotní analýzy je nedokážu určit.

↑ Bati:
O neurčitém výrazu jsem si udělal asi následující představu - jsou to výrazy, jejich hodnota není přesně určena.... viz Krynicky a diskuze s MichalAld.


Mě spíš momentálně nejde do hlavy přibližně toto: Uvažujme funkci
lim_{x \rightarrow 0}\sqrt{x^4-x^2}$ pokud se budu držet klasického postupu, tak dosadím vyjde 0-0. Není neurčitý výraz, takže limita je 0. A ejhle, při analýze funkce zjistím, že nemám pravdu, limita neexistuje.

To mě vede k závěru, že "obecný postup" určení limity by měl být rozšířen k nultý krok, analýza na prstencovém okolí bodu - definiční obor, graf.

EDIT.
Už jste se k tomu vlastně vyjádřil

BobMarley:
"Asi se prostě musím vnitřně smířit s tím, že existují nerozumné (typicky neskolni) funkce , které se vymykají  běžným přístupum a bez prvotní analýzy je nedokážu určit."

Bati:
"To je jasne"

Bati napsal(a):

↑ BobMarley:
U te limity je problem s tim, ze ta funkce ma omezeny definicni obor. Takze ano, pokud v zadani uvidite odmocninu, logaritmus, arkussinus, apod., je nejprve potreba se podivat, jestli ta funkce je vubec v prstencovem okoli definovana. To je ale vetsinou videt na prvni pohled (zde x^4 < x^2 pro x male).

Pochopitelne by stacilo, aby existovala jen nejaka posloupnost konvergujici k limitnimu bodu, ve ktere dana funkce neni definovana, ale opet si troufam tvrdit, ze to by bylo videt na prvni pohled.

Bati napsal(a):

↑ BobMarley:

Spis bych rekl, ze neurcity vyraz je ten, ktery se neda konzistentne definovat, ale nechci do tehle diskuze zabihat (protoze to taky zavisi na kontextu).

Máte pravdu, Vaše "představa" je přesnější.

Bati napsal(a):

↑ BobMarley:
U te limity je problem s tim, ze ta funkce ma omezeny definicni obor. Takze ano, pokud v zadani uvidite odmocninu, logaritmus, arkussinus, apod., je nejprve potreba se podivat, jestli ta funkce je vubec v prstencovem okoli definovana. To je ale vetsinou videt na prvni pohled (zde x^4 < x^2 pro x male).

Pochopitelne by stacilo, aby existovala jen nejaka posloupnost konvergujici k limitnimu bodu, ve ktere dana funkce neni definovana, ale opet si troufam tvrdit, ze to by bylo videt na prvni pohled.

To by v podstatě odpovídalo tomu, co jsem psal v předchozím příspěvku. Taky jsme tedy prováděli nějaký 0. krok - analýzy funkce na prstencovém okolí bodu.

"Obecný" postup by tedy měl být o tuto analýzu rozšířen.

Viz  příspěvěk MichalAld:

Já bych tedy neviděl až takový problém v tom, co že to vlastně je "neurčitý výraz" jako spíš v tom, že o nějakém vzorci děláme automaticky předpoklady, které nemusí platit - jako že ta limita existuje, nebo že v okolí vyšetřovaného bodu představuje vztah nějakou "rozumnou" funkci (nebo prostě jen funkci). Nic z toho nemusí být pravda..

Tohoto automatizmu se zbavím tou prvotní analýzou.

Uznávám v praxi bychom pro tento krok měli mít nějaký impuls (funkce s omezeným definičním oborem, absolutní hodnota,...).

↑ Rumburak:
To byl jen příklad.
Naznačujete tedy, abych udělal PŘED vlastním výpočtem limity analýzu funkce, o kterou mi jde.
Jak jsem psal výše:

BobMarley napsal(a):

Bati napsal(a):

↑ BobMarley:
U te limity je problem s tim, ze ta funkce ma omezeny definicni obor. Takze ano, pokud v zadani uvidite odmocninu, logaritmus, arkussinus, apod., je nejprve potreba se podivat, jestli ta funkce je vubec v prstencovem okoli definovana. To je ale vetsinou videt na prvni pohled (zde x^4 < x^2 pro x male).

Pochopitelne by stacilo, aby existovala jen nejaka posloupnost konvergujici k limitnimu bodu, ve ktere dana funkce neni definovana, ale opet si troufam tvrdit, ze to by bylo videt na prvni pohled.

Bati napsal(a):

↑ BobMarley:

Spis bych rekl, ze neurcity vyraz je ten, ktery se neda konzistentne definovat, ale nechci do tehle diskuze zabihat (protoze to taky zavisi na kontextu).

Máte pravdu, Vaše "představa" je přesnější.

Bati napsal(a):

↑ BobMarley:
U te limity je problem s tim, ze ta funkce ma omezeny definicni obor. Takze ano, pokud v zadani uvidite odmocninu, logaritmus, arkussinus, apod., je nejprve potreba se podivat, jestli ta funkce je vubec v prstencovem okoli definovana. To je ale vetsinou videt na prvni pohled (zde x^4 < x^2 pro x male).

Pochopitelne by stacilo, aby existovala jen nejaka posloupnost konvergujici k limitnimu bodu, ve ktere dana funkce neni definovana, ale opet si troufam tvrdit, ze to by bylo videt na prvni pohled.

To by v podstatě odpovídalo tomu, co jsem psal v předchozím příspěvku. Taky jsme tedy prováděli nějaký 0. krok - analýzy funkce na prstencovém okolí bodu.

"Obecný" postup by tedy měl být o tuto analýzu rozšířen.

Viz  příspěvěk MichalAld:

Já bych tedy neviděl až takový problém v tom, co že to vlastně je "neurčitý výraz" jako spíš v tom, že o nějakém vzorci děláme automaticky předpoklady, které nemusí platit - jako že ta limita existuje, nebo že v okolí vyšetřovaného bodu představuje vztah nějakou "rozumnou" funkci (nebo prostě jen funkci). Nic z toho nemusí být pravda..

Tohoto automatizmu se zbavím tou prvotní analýzou.

Uznávám v praxi bychom pro tento krok měli mít nějaký impuls (funkce s omezeným definičním oborem, absolutní hodnota,...).

A v případě funkce sign(x) ten "impuls" prostě mám, zvlášť, když na intervalu R\{0} funkci vyjádřím jako .

EDIT:
na http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/5/txc3bb5.htm se píše:

Jak najít limity?
Otázka:
Nechť je funkce f definována na nějakém prstencovém okolí bodu a určitým algebraickým vzorcem. Najděte její limitu v a.

Než si ale ukážeme, co dělat, podíváme se krátce na jiné situace. Co když není funkce dána jedním společným vzorcem na prstencovém (jednostranném pro jednostranné limity) okolí bodu a? Rozumný případ je, že je funkce dána jedním vzorcem napravo a jiným vzorcem nalevo od a a my chceme oboustrannou limitu. Pak můžeme přejít na jednostranné limity, kde jsme přesně v situaci popsané v Otázce, takže použijeme níže popsaný algoritmus, najdeme odpovědi (s trochou štěstí) a porovnáme je. Jestliže je funkce tak divná, že není dána pěkným vzorcem dokonce ani na jednostranných okolích bodu a, pak musíme řešit problém individuálně s pomocí našeho porozumění limitám, není na to žádný algoritmus.

Teď už zpět k otázce.

Řešení:
Krok 1. "Dosaďte" bod a do daného výrazu a zkuste najít výsledek pomocí algebry limit. .....




Takže je otázka, jak odlišit nějakou "rozumnou" funkci od "nerozumné".  Intuicí, zkušeností, ...

Viz výše, jak píše Bati:

Takze ano, pokud v zadani uvidite odmocninu, logaritmus, arkussinus, apod., je nejprve potreba se podivat, jestli ta funkce je vubec v prstencovem okoli definovana. To je ale vetsinou videt na prvni pohled (zde x^4 < x^2 pro x male).