Matematické Fórum

A můžu mít taky jednu otázku ? Jak je to s tou limitou funkce dvou proměnných? Vzpomínám si, že byl nějaký principiální problém vůbec dokázat, že taková limita existuje...nemáte nějaký příklad, na kterém by to šlo demonstrovat ?

↑ MichalAld:
Ahoj. 


I.  Platí tvrzení:

Když je funkce v daném bodě spojitá, třeba i jednostranně, pak má v tomto bodě
vlastní limitu rovnu funkční hodnotě v tomto bodě.


II. Avšak tvrzení

když je funkce nespojitá, tak v bodě nespojitosti limita neexistuje.

platit nemusí.  Příklad:

Funkce má limitu v nule rovnu 1, přestože je v 0 nespojitá
(limita je různá od funkční hodnoty) .

Spojitost (daného "druhu") funkce  v bodě znamená, že limita (téhož "druhu"
jako spojitost) oné funkce v onom bodě je rovna .

Druhem limity resp. spojitosti (u funkcí jedné reálné proměnné) je zde neoficiálně
míněno, zda oboustranná resp. zleva resp. zprava.

Platí ovšem také, že když funkce není v daném bodě definována, avšak má v něm
vlastní limitu určitého druhu (ve smyslu předchozím), pak ji lze v tomto bodě spojitě
dodefinovat hodnotou této limity (a půjde o spojitost téhož druhu jako je druh oné
limity.)

Příklad:  Funkce

(1)              

není původně definována bodě 0,  proto v něm nemůže být spojitá,  avšak má v něm
oboustrannou  limitu rovnu .  Rozšíříme-li tedy dosavadní předpis (1) o

(2)              ,

pak funkce už v nule spojitá bude.

↑ vlado_bb:
Děkuji za (pro mě) přínosnou poznámku.
Chápu to tedy dobře, že technicky mám podle Vás pravdu, ale současně si myslíte, že tyto úvahy k výpočtu limit prostě patří, jdou ruku v ruce?
Jinými slovy:stanovením definičního oboru, určením bodu nespojitosti provedu tedy prvotní úvahy nad existenci limity.
A poté, když dojdu k závěru, že limita může existovat, provedu nějakým způsobem vlastní výpočet.

↑ BobMarley: Ano, asi tak.

BobMarley napsal(a):

Jinými slovy:stanovením definičního oboru, určením bodu nespojitosti provedu tedy prvotní úvahy nad existenci limity. A poté, když dojdu k závěru, že limita může existovat, provedu nějakým způsobem vlastní výpočet.

Záleží na tom, co je cílem.
V praxi (jako třeba u písemky, ale i když chceš reálně něco spočítat) se to často dělá opačně, nejprve se to spočítá, a teprve potom, když je s tím nějaký problém, se řeší, jestli je výsledek správný (či vůbec možný).

Když se třeba řeší soustava (velkého počtu) lineárních rovnic, také by se mělo prověřit, že ta matice není singulární.
Jenže zjistit, zdali je (velká) matice singulární je obecně větší problém než iterativně vyřešit tu soustavu. A pravděpodobnost, že se to v reálném případě stane, je dost malá.

Na druhou stranu, když budeš sčítat nějakou nekonečnou řadu čísel, je dost důležité vědět, zdali (a dokonce jak rychle) ta řada konverguje. Jinak vypočítáš úplný nesmysl.

Na to asi není žádná obecná rada. To by asi mělo být předmětem toho matematického vzdělání, aby člověk dokázal relevantně posoudit co je a co není třeba udělat - a případně pak zpětně ověřit, jestli se rozhodl správně a kdyžtak to udělat znovu a lépe.

↑ MichalAld:

Někde jsem psal, že tento krok, bych volil, kdybych měl nějaké podezření, že k problému může dojít (např. odmocniny, arkus sinus, arkus cosinus, tangens, cotangens,...), tj. na základě zkušeností.

Jinak rozumím poznámce, ale kdybych byl přehnaně důsledný, tak bych to udělat měl.

↑ MichalAld:

Derivace funkce signum v 0 existuje, ale je nevlastní. Vezměme to nejprve zprava:

Pro máme

,

takže

.

Nyní zleva:

Pro analogicky bude

,

takže

,

kde kladné znaménko výsledku je dáo tím, že v čitali i jmenovateli
posledního zlomku jsou čísla záporná.

                                   ***
K distribucím:

Diracova distribuce (někdy se hovorově říká "Diracova funkce")  se zavádí až
ve funkcionální anylýze jako jakýsi abstraktní doplněk k teorii lineárních forem
na lineárních prostorech funkcí integrovatelných s kvadrátem. Sama idea,
i když abstraktní, je velmi jednoduchá. Stručně ji popíši, ovšem ve zjednodušení,
aby obecnost a abstrakce nebyly na úkor srozumitelnosti).


Pevně zvolme uzavřený číselný interval kladné délky a uvažujme všechny funkce,
které jsou na něm spojité. Množinu všech těchto funkcí označme třeba .   Platí,
že součet libovolných dvou takových funkcí opět leží v a rovněž tak, když
keroukoliv takovou funkci vynásobíme reálnou konstantou. Snadno ověříme, že
množina s takto pojatými operacemi součtu libovolných dvou jejích prvků
a vynásobením libovolného jejího prvku  reálným číslem  je vektorovým (neboli
lineárním) prostotem.

Nyní vezměme pevně .
Libovolnému pak přiřaďme číslo

(0)                    .

Toto reálné číslo existuje, protože jde o integrál ze spojité funkce přes uzavřený
interval.  Snadno ověříme, že pro platí:

(1)        pro libovolá

(2)      pro libovolná ,  reálné.

Vlastnosti (1), (2) znamenají, že je lineárním operátorem na prostoru
(viz definice lineárního operátoru).

Nyní pevně zvolme   a pro každé   položme .

Snadno zjistíme, že i   je lin. operátor na prostoru . Ptáme se, zda existuje
funkce taková, aby platilo 

           pro libovolné  .

Taková funkce ovšem neexistuje. Teorie distribucí předpokládá, že prostor je
vnořen do obecnějšího prostoru - prostoru distribucí, v němž je odpověď na
výše položenou otázku pozitvní.  Ale pracujeme-li s reálnými funkcemi, aniž
bychom se zajímali o problém uvedený  výše, pak na distribuce zapomeňme.

↑ MichalAld:

Odstranitelná nespojitost je, když funkce není v některém bodě definována,
avšak  má v něm vlastní limitu. Když onu funkci v onom bodě dodefujeme
onou limitou, dostaneme funkci, která je už v onom bodě definována a navíc
je v něm i spojitá.

Příklad: Funkce (sin x) / x   v bodě x = 0.

Rumburak napsal(a):

↑ MichalAld:

...abychom po zintegrování takovéto funkce (která je všude rovna nule a jen v bodě 0 rovna nekonečnu) dostali původní signum

Taková funkce neexistuje, Diracova distribuce je jen ilusí o ní.

A k čemu to vůbec potřebujeme ?

Každopádně děkuji za výklad, zase jsem se dozvěděl něco nového.
My, nematematikové, to máme o dost jednodušší, že si vlastně vystačíme s tou iluzí (prostě si představíme normální spojitou funkci, velmi úzkou a velmi vysokou - i když třeba 2. derivace diracovy funkce už se představuje taky blbě).

K čemu to je dobré?
Diracovy funkce jsou náhodou velmi užitečné. Je to to nejjednodušší, co můžeme "pustit" do diferenciální rovnice (= napsat na pravou stranu). Vlastně z toho neplyne žádné počítání navíc, Diracova funkce nám jen nastaví počáteční podmínky. Ale to co vypočítáme je přesně to, jak skutečný systém reaguje na velmi krátký impulz (nemusí být nekonečně krátký - ono se to moc neliší)

Super to je, když řešíme lin. dif. rovnice pomocí Fourierovy či LaPlaceovy transformace - spektrum diracovy funkce je prostě konstanta.

Ale nejdůležitější použití Diracových funkcí je v kvantové mechanice, kvůli tomu to Dirac vymyslel (Paul Dirac nebyl matematik, ale fyzik co přišel na relativistické kvantové rovnice).

A Feynmanův přístup k řešení rovnic kvantové teorie el. mag. pole (dráhové integrály), ten je na Diracových (Greenových) funkcí postavený celý (aspoň teda myslím, né že bych to někdy počítal).

Skoro si myslím, že by se bez Diracových funkcí dnes nedalo žít.


Další věc je, že když chceme spočítat něco reálného, je často výhodnější používat nespojité funkce (jako třeba to signum, nebo trochu lepší "jednotkový skok" než funkce, které ten přechod mají spojitý. Protože spojitý přechod musí být nějak složitě popsaný. Zatímco nespojitost né, jen si musíme poradit s tou derivací (pomocí Diracovy funkce). No a když to spočítáme, tak si už můžeme snadno říct, že ten "skok" nebyl nekonečně krátký, a Diracův pulz nebyl až tak úplně Diracův. Takže to asi nemáme úplně přesně, ale zato to máme rychle a jednoduše.

↑ Rumburak:
Odpoved na tvou otazku je, ze takova fce g neexistuje. Delta distribuce neni regularni a da se snadno nahlednout, ze se da ztotoznit s mirou a ne s integrovatelnou, natoz jeste spojitou funkci.

Rumburak napsal(a):

Je to jen základní myšlenka, která by patrně potřebovala vyladit.

Jo jo, tak se to dělá pro "normální lidi": Diracovo delta

↑ Rumburak:
Ok, ja jen aby to nekdo nepochopil spatne...protoze distribuce obecne neni prvkem dualu spojitych funkci...to jsou jen miry