Matematické Fórum

↑ MichalAld:
Tvou analogii s mnozinama moc nechapu. Je dobre umet veci chapat intuitivne, dokonce je to potreba. Na druhou stranu je potreba umet intuici overit a pak se bez presne definice neobejdes. A zrovna definice distribuce patri k jednodussim.

V urcitem smyslu je pravda, ze lze ziskat libovolnou distribuci jako limitu regularnich distribuci (dokonce hladkych funkci), ale to jak obecny objekt ta limita je, zavisi presne na tom, v jakem smyslu delas tu limitu (tj. na topologii).

Bati napsal(a):

Je dobre umet veci chapat intuitivne, dokonce je to potreba. Na druhou stranu je potreba umet intuici overit a pak se bez presne definice neobejdes. A zrovna definice distribuce patri k jednodussim.

To je jasné, já vím.
I když znám případy, kdy byly matematická tvrzení nejprve "ověřena experimentálně" a až po čase se je podařilo někomu dokázat.

A znám i případy, kdy se to nepodařilo dodnes. Jako třeba matematiku, kterou používá kvantová teorie el. mag. pole. Je seriózně matematicky nekonzistentní. Úplně tomu ale nerozumím, takže raděj ocituji z wiki:

Zásadním problémem v poruchové formulaci teorie pole byl výskyt nekonečných koeficientů ve vyšších korekcích k základní aproximaci. Řešením se ukázala být procedura zvaná renormalizace, která odstraňuje nekonečné hodnoty pomocí předefinování fyzikálních konstant vystupujících v rovnicích, jako jsou náboje či hmotnosti částic. Ačkoliv matematická konzistence této procedury není zcela uspokojivá, vede k velmi dobré shodě s experimentem a stala se nedílnou součástí současné kvantové teorie. Mnoho fyziků, mj. Dirac a Feynman, vyjadřovalo ovšem nespokojenost s takovým stavem a dodnes renormalizace zůstává jedním z „nejdivnějších“ míst současné fyziky.

Je to jako sčítat divergující řady čísel, přesto je to (s přivřením očí nad matematikcou korektností) ta nejpřesnější teorie, co kdy lidstvo vymyslelo. Jen nesmíme sčítat všechny členy, musíme někde zastavit, jinak bychom dostali nekonečno. Tedy, musíme to počítat, jako by prostor nebyl spojitý, jako by měl nějakou strukturu.

Výsledek ovšem závisí na tom, jak jemnou strukturu si při počítání zvolíme - takže jeden výsledek není k ničemu.
Pokud jej ovšem můžeme srovnat s experimentem, a nastavit si vhodně vstupní konstanty, můžeme se stejným nastavením a stejnou jemností prostoru spočítat experimenty další. A kupodivu to vychází.

Možná je to ve skutečnosti trochu jinak, já to nikdy nepočítal, ale zajímavé je, že dosud nikdo nepřišel na to, jak to dělat matematicky korektně.

To je jasny, ze vzdy budou existovat pravdivy tvrzeni, ktery nikdo nedokazal (a pouzivaji se v praxi). Tys predtim tvrdil neco jinyho, ze neni potreba vedet co je delta dsitribuce k tomu, aby se s ni mohlo v praxi pocitat. To muze platit pro tebe, ale jinak si myslim, ze je povrchni si to myslet. Uvedom, ze to uz nekdo vymyslel pred tebou a nejspis i rigorozne odvodil. Pokud bys byl prvni, kdo objevil delta distribuci, pochybuju, ze bys mel v tom pocitani takovou jistotu. Nejspis by ses snazil najit presnou definici.

Chapu, ze pro kazdeho muze pravda znamenat neco jineho. Nekomu muze stacit shoda s experimenty, nekdo tomu proste veri. Podle me ale kazdy seriozni vyzkum, at uz matika, fyzika nebo informatika, je podlozeny logickym oduvodnenim, tj. dukazem. A dukaz proste nejde udelat bez presnych definic.

Krome toho si myslim, ze matematicky dukaz je zpravidla mnohem efektivnejsi nastroj nez fyzikalni experiment, a to z hlediska spolehlivosti, flexibilnosti a taky z hlediska ekonomickeho.

Bati napsal(a):

Krome toho si myslim, ze matematicky dukaz je zpravidla mnohem efektivnejsi nastroj nez fyzikalni experiment, a to z hlediska spolehlivosti, flexibilnosti a taky z hlediska ekonomickeho.

To je právě zajímavé, jak se na to lidé z různých "branží" koukají různým způsobem. Já samozřemě to nechci a nebudu rozporovat, co říkáš, nebo co dělají matematici. Spoustu věcí z pokročilé matematiky nedokážu často ani pochopit, natož abych je vymyslel.

Na druhou stranu, ve skutečném světě nelze "dokázat" vůbec nic - protože nikdy nevíme jestli platí ty výchozí předpoklady. Matematika sama nám o skutečném světě nedokáže říct vůbec nic, takže experimentování se stejně nevyhneme.

I takové jednoduché věci, jako že 1+1=2 musejí být ve skutečném světě ověřeny experimenty. Takže třeba zjistíme, že pro hrušky nám ten vzorec funguje, ale pro rychlosti už né.

A i v samotné matematice jsou věci, které se dokazují těžko. Podle mě třeba všechy ty numerické (přibližné) výpočty. Je myslím dost těžké posoudit, jak moc se numericky nalezené řešení nějaké třeba diferenciální rovnice liší od toho skutečného, ještě když to počítáme na počítači s omezenou přesností čísel.

Takže ono porovnání vypočteného výsledku s reálným experimentem je často jediná možnost jak zjistit, zdali je použitá výpočetní metoda dobrá nebo né.

=======================================================================================

On je taky problém, že pro řešení i relativně jednoduchých věcí potřebujeme hrozně pokročilou matematiku.
Parciální dif. rovnice jsou snad všude,
když chceme doletět raketou na Měsíc (s nějakým rozumným množstvím paliva) musíme řešit variační problém - hledání extrému funkcionálu v závislosti na trajektorii letu,
na to, aby nám správně fungovala GPS potřebujeme dělat korekce dle obecné teorie relativity, a k ní potřebujeme diferenciální geometrii ve 4-rozměrném časoprostoru.

A to jsou v podstatě jednoduché věci, vůbec nezmiňuji nějakoui kvantovou teorii pole, třeba...

Bati napsal(a):

A dukaz proste nejde udelat bez presnych definic.

Což je také zajímavé. Protože ta ZF teorie množin vznikla až na počátku 20. století, zatímco mnohé fundamentální důkazy z matematiky jsou mnohem starší (a provedené v matematice, která obsahovala vnitřní rozpory, ve které je tedy možné "dokázat" téměř cokoliv, jak se píše na wiki u ZF teorie).

Třeba základní věta integrálního počtu - polovina 17. století
Základní věta algebry - 1806,
atd...

Což mě, neznalému detailů, přijde tak jako divný...