Matematické Fórum

Denx776 · 02. 03. 2018 18:04

Zdravím, nemohl by mi někdo prosím pomoct s následujícím příkladem. Stačí mi jen postup, už si nad tím lámu hlavu nějakou dobu.
Přímka $y = x + q$ , kde q je z R, je tečnou paraboly $y^2-x-1=0$ právě tehdy, když q se rovná: ?

Rumburak · 02. 03. 2018 18:19

↑ Denx776:

Ahoj. Kdyby parabola byla zadána ne kvadratckou funkcí v proměnné y,
ale kvadratickou funkcí v proměnné x, pak bys to dovedl ?

MichalAld · 02. 03. 2018 18:22

No, když si nakreslíš parabolu a přímku, tak se buď protínají ve dvou bodech, nebo v jednom (to je zrovna ta tečna, co tě zajímá) nebo v žádném.

Matematicky je to řešení soustavy těch dvou rovnic. Takže najdi takové q, aby soustava měla jedno řešení.

Denx776

Dosazoval jsem $y+q$ za $y^2$ do paraboly a vycházely mi dvě umocněné proměnné na 2. Podařilo se mi to vypočítat až když jsem si vyjádřil x. Děkuju!
Dá se to i vypočítat s tím dosazením za y ?

MichalAld · 02. 03. 2018 18:59

Lepší je vyjádřit x a dosadit za x.
Když budeš dosazovt za y, musíš mít na paměti, že tvá rovnice přímky je

$y = x + q$

Jenže dosazuješ

$y^2 = (x + q)^2$

což odpovídá i přímce

$y = -(x + q)$

Takže v důsledku dostaneš dvě řešení pro q, ale jen jedno odpovídá původnímu zadání (a druhé je pro tu druhou přímku, kterou jsi tam zanesl při tom dosazení).

zdenek1 · 02. 03. 2018 19:25

↑ Denx776:
dosaď do rovnice paraboly (můžeš $x$ nebo $y$ - je to naprosto jedno, ale dosazování za $x$ je početně jednodušší)
Dostaneš kvadratickou rovnici s parametrem
vyjádři její diskriminat a polož roven nule.
dopočítáš $q$ (dostaneš v obou případech jediné řešení)

MichalAld · 02. 03. 2018 19:58

↑ zdenek1:
No jo, má to jen jedno řešení, když si to namaluji, tak to i dává smysl, že když je přímka

$y=ax+b$

tečna, tak bude tečna i

$-y=ax+b$

Denx776 · 02. 03. 2018 20:09

Už rozumím i druhému řešení. Moc děkuju

laszky · 02. 03. 2018 20:17 — Editoval laszky (02. 03. 2018 20:21)

Jeste lze zderivovat tu rovnici paraboly a zjistit, ze $y'=\frac{1}{2y}$ , takze aby byla smernice tecny rovna 1, musi mit bod dotyku y-novou souradnici $y_0=1/2$ . Z rovnice paraboly pak plyne, ze $x_0=y_0^2-1$ a dosazenim do rovnice tecny zjistis $q=y_0-x_0=y_0-y_0^2+1$ .