Matematické Fórum

pepamepa55@gmail.com · 01. 03. 2018 23:44

Zdravím, přemýšlel jsem nad funkcí.

$g(x)=x|x|$

pro $x<0$ $g(x)=-{x}^{2}$ $g'(x) = -2x$
pro $x>0$ $g(x)={x}^{2}$ $g'(x) = 2x$
pro $x=0$ $g(x)=0$

když pro x=0 udělám $\lim_{h->0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ zleva i zprava tak vyjde 0.

Ale podle pravidla součinu by derivace existovat neměla.

Děkuji za radu

laszky · 01. 03. 2018 23:52

↑ pepamepa55@gmail.com:

Proc by nemela existovat?

pepamepa55@gmail.com · 01. 03. 2018 23:57

↑ laszky:

$g'(x)=|x|+x(|x|)'$

$g'(0)=0+0(|0|)'$

Ale derivace $|x|$ v nule neexistuje

laszky · 02. 03. 2018 00:00

↑ pepamepa55@gmail.com:

$g'(x)=\left(x\sqrt{x^2}\right)' = |x| + x \frac{x}{\sqrt{x^2}} = |x| + \frac{x^2}{|x|} = |x|+\frac{|x|^2}{|x|}=2|x|$

pepamepa55@gmail.com · 02. 03. 2018 00:05

To dává smysl, ale nechápu proč to podle toho součinu nevychází.

laszky · 02. 03. 2018 00:11

↑ pepamepa55@gmail.com:

Jde o to, ze derivace |x| v nule sice neexistuje, ale ty ji mas jeste prenasobenou necim dalsim, co je v nule nulovy.

pepamepa55@gmail.com · 02. 03. 2018 00:17

Takže to mám chápat jako 0*neexistuje = 0?

laszky · 02. 03. 2018 00:20

↑ pepamepa55@gmail.com:

Samozrejme to neplati vzdycky. Treba $x*\frac{1}{x}$ v nule derivaci ma, kdezto $x*\frac{1}{x^2}$ nema. (Asi by sly najit dumyslnejsi priklady.)

pepamepa55@gmail.com · 02. 03. 2018 00:25

↑ laszky:

Myslím, že to chápu

Díky za pomoc

MichalAld · 02. 03. 2018 10:47

Nejsem matematik, takže nevím, jak se to správně nazývá (takže použitou terminologii berte s nadhledem),

ale tenhle příklad demonstruje obecnější problematiku při "napojování křivek".

Když třeba na sebe "navážeme" dvě úsečky, máme spojitost nultého řádu (derivace v bodě napojení neexistuje).
Pokud třeba na přímku vhodně napojíme parabolu, můžeme dostat spojitost prvního řádu (že v bodě napojení si odpovídají i první derivace). To je tvůj případ. Když bys ale chtěl spočítat 2. derivaci, zjistíš, že v bodě napojení už neexistuje (zleva by to bylo -2, zprava +2).

Můžeš ale zkusit vymyslet lepší křivky (třeba polynom 3. řádu) a podaří se ti to udělat tak, aby i 2. derivace v bodě napojení existovala.

Je to trochu nezvyklé, protože běžné funkce, co v matematice používáme, jako třeba polynomy, siny, odmocniny atd můžeme derivovat kolikrát chceme.

Prakticky se tohle řeší třeba při návrhu vaček.
Můžeš si představit, že máš funkci

pro $x<-1$ $g(x)=-1$
pro $x>1$ $g(x)=1$

A mezi tím máš navrhnout plynulý přechod, tak aby v bodech -1 i 1 měl spojitost třeba 4. řádu.
To lze samozřejmě udělat (nekonečně) mnoha způsoby, takže k tomu přidáme podmínku, aby 2. derivace (zrychlení) na celém tom přechodovém úseku bylo co nejmenší.

(neříkám, že to máš počítat, jen že se tohle řeší, když se navrhují vačky)

Ty dva požadavky jdou proti sobě - čím chceš mít větší spojitost na počátku a konci toho přechodového úseku, tím větší zrychlení ti pak vyjde někde uprostřed. Takže se pak musí vybrat nějaké optimální řešení.

pepamepa55@gmail.com · 02. 03. 2018 14:40

↑ MichalAld:

Děkuji za doplnění

Stýv · 02. 03. 2018 15:44

↑ pepamepa55@gmail.com: Jaké jsou předpoklady věty (pravidla) o derivaci součinu?

Rumburak

↑ pepamepa55@gmail.com:

Ahoj.

V takových případech, které se nedají napasovat na známé věty, nutno postupovat
kreativněji, třeba i z definice. Zde bychom mohli spočítat nejprve derivaci zprava
a pak zleva - tim by nás přestala strašit absolutní hodnota.

MichalAld · 02. 03. 2018 18:29

↑ Rumburak:
A když bude derivace zprava rovná derivaci zleva, tak můžeme prohlásit, že derivace existuje ?

Mě to teda nikdy nenapadlo, ale když na to teď koukám, tak vzorec pro derivaci je vlastně vzorcem pro derivaci zprava. Stejně dobře by tam mohlo být -h, né ?

Stýv · 02. 03. 2018 18:33

MichalAld napsal(a):
↑ Rumburak:
Mě to teda nikdy nenapadlo, ale když na to teď koukám, tak vzorec pro derivaci je vlastně vzorcem pro derivaci zprava.

Není, to by v něm musela být jednostranná limita.

Rumburak

↑ MichalAld:

Když budou v daném bodě existovat obě jednostranné derivace a budou si rovny,
pak tato společná hodnota bude rovna oboustranné derivaci v tomto bodě.

U funkce absolutní hodnoty existují v nule obě derivace jednostranné, ale nejsou
si rovny. Zprava vychází +1, zleva -1.

Matematické Fórum

#1 01. 03. 2018 23:44

Derivace s abs hodnotou

#2 01. 03. 2018 23:52

Re: Derivace s abs hodnotou

#3 01. 03. 2018 23:57

Re: Derivace s abs hodnotou

#4 02. 03. 2018 00:00

Re: Derivace s abs hodnotou

#5 02. 03. 2018 00:05

Re: Derivace s abs hodnotou

#6 02. 03. 2018 00:11

Re: Derivace s abs hodnotou

#7 02. 03. 2018 00:17

Re: Derivace s abs hodnotou

#8 02. 03. 2018 00:20

Re: Derivace s abs hodnotou

#9 02. 03. 2018 00:25

Re: Derivace s abs hodnotou

#10 02. 03. 2018 10:47

Re: Derivace s abs hodnotou

#11 02. 03. 2018 14:40

Re: Derivace s abs hodnotou

#12 02. 03. 2018 15:44

Re: Derivace s abs hodnotou

#13 02. 03. 2018 18:08 — Editoval Rumburak (02. 03. 2018 18:14)

Re: Derivace s abs hodnotou

#14 02. 03. 2018 18:29

Re: Derivace s abs hodnotou

#15 02. 03. 2018 18:33

Re: Derivace s abs hodnotou

MichalAld napsal(a):

#16 03. 03. 2018 12:40 — Editoval Rumburak (03. 03. 2018 12:45)

Re: Derivace s abs hodnotou

Zápatí