Matematické Fórum

veadet · 08. 03. 2018 22:41 — Editoval veadet (08. 03. 2018 23:00)

Dobry den mam takuto ulohu, mohli by ste mi s nou pomoct vopred vdaka.
Automat na napoje je nastaveny tak, aby v priemere nalial do pohara 4 dl napoja so smerodajnou odchylkou 0,02 dl. Rozdelenie veliciny nadobuda normalne rozdelenie hodnot.
V kolkych percentach pripadov automat naleje:
a) viac ako 4,03 dl?
b) menej ako 4,02 dl ?
c) medzi 3,99 a 4,00 dl?
Ako na to?

KennyMcCormick · 09. 03. 2018 04:02

Pro normální rozdělení platí, že $X$ bude nabývat hodnoty $\leq x$ s pravděpodobností
$P(X\leq x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$ , kde $\Phi$ je distribuční funkce standardního normálního rozdělení, kterou si najdeš v tabulkách nebo na WolframuAlpha.

a)
$P(X>4,03)=1-P(X\leq 4,03)=1-P(X\leq \mu+1,5\sigma)=1-\Phi\left(\frac{\mu+1,5\sigma-\mu}{\sigma}\right)=\nl=1-\Phi(1,5)=\Phi(-1,5)=6,680\:72\%$

b) a c) uděláš stejným způsobem.

Víš, jak dál?

veadet · 09. 03. 2018 10:01 — Editoval veadet (09. 03. 2018 10:02)

no skusim to becko, to bude takto?

$P(X<4,02)=1-P(X\ge 4,02)=1-P(X \ge \mu+1,5\sigma)=1-\Phi\left(\frac{\mu+1,5\sigma-\mu}{\sigma}\right)=\nl=1-\Phi(1,5)=\Phi(-1,5)=6,680\:72\%$ ale asi to mam zle lebo neviem co mam dosadit za $\sigma$

Jj · 09. 03. 2018 12:10 — Editoval Jj (09. 03. 2018 12:18)

↑ veadet:

Zdravím. Tak zrovna ne.

Kolega ↑ KennyMcCormick: uvádí základní vztah $P(X\leq x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$ , tak jej bez dalšího využijte:

$\Rightarrow P(X\leq 4.02)=\Phi\left(\frac{4.02-4}{0.02}\right)=\cdots$

Edit - doplněno:

$\sigma$ = směrodatná odchylka, je přece v zadání.

veadet · 09. 03. 2018 13:18 — Editoval veadet (09. 03. 2018 13:23)

aha no jasne, takze to bude
$P(X\leq 4.02)=\Phi\left(\frac{4.02-4}{0.02}\right)=\Phi(1)=0.84$
takto? wolfram tam vyhodil dve hodnoty tak teraz neviem ktora je spravna ale myslim, ze ta $0.84$ lebo $X\leq 4.02$

Jj · 09. 03. 2018 13:35 — Editoval Jj (09. 03. 2018 13:35)

↑ veadet:

Ano, $P(X\leq 4.02)=\Phi(1)=0.84$ .

veadet · 09. 03. 2018 13:36

takze to bude 84 % ?
no a v tom cecku to posledne ako to mam dat dokopy ked je to zdola aj zhora ohranicene?

veadet · 09. 03. 2018 13:40

$\Phi\left(\frac{3.99-4}{0.02}\right) \le x \le \Phi\left(\frac{4-4}{0.02}\right)$ takto?
to bude
$\Phi (-1/2) \le x \le \Phi(0)$
no a to podla wolframu je
$0.30 \le x \le 1/2$
neviem ci to mam spravne

laszky · 09. 03. 2018 13:44 — Editoval laszky (09. 03. 2018 13:44)

↑ veadet:

Ja bych zkusil spis spocitat $P(X\leq 4.00)-P(X\leq3.99)$ .

veadet · 09. 03. 2018 13:45

aha tak ok ... tak to bude $1/2 - 0.30 = 0.2$ ? takto?

laszky · 09. 03. 2018 13:47

↑ veadet:

To vypada pravdepodobne ;-)

veadet · 09. 03. 2018 17:59

v tom becku nebude nahodou ta druha hodnota? lebo v acku ide o to ze X je vacsie ako 4.03 ale v becku X je mensie ako 4.02 teda nie 84 % ale 15,8 % ne?

Jj · 09. 03. 2018 18:04

↑ veadet:

Ne.

veadet · 09. 03. 2018 18:07

takze to je jedno ci viac ci menej vzdy pozeram tu hodnotu hore?

KennyMcCormick

Pokud si to správně vyjádříš.

Podívej se, co je u těch čísel napsané.

Nemůžeš si tyhle věci pamatovat podle toho, jestli se ve WolframuAlpha zobrazují nahoře, nebo dole.

V příkladu a) chceš spočítat pravděpodobnost, že $X$ bude větší než 4,03 dl.

To se dá zapsat jako 1 mínus pravděpodobnost, že $X$ bude menší nebo rovno 4,03 dl.

To proto, že

" $X$ je větší než 4,03 dl"

a

" $X$ je menší nebo rovno 4,03 dl"

jsou dva jevy, které vyčerpávají celý pravděpodobnostní prostor - druhý jev nastave právě tehdy, pokud nenastane ten první.

To znamená, že
$P(X>4,03) + P(X\leq 4,03)=100\%$ .

Jinými slovy, pravděpodobnost, že $X$ bude větší než 4,03, sečtená s pravděpodobností, že $X$ bude menší nebo rovno 4,03, je 100%. Je jisté, že se stane buď jedno, nebo druhé.

Protože 100% = 1, můžeš tu rovnici zapsat jako

$P(X>4,03) + P(X\leq 4,03)=1$ , po úpravě

$P(X>4,03)=1-P(X\leq 4,03)$ .

Teď sis tedy vyjádřil tu pravděpodobnost prostřednictvím pravděpodobnosti " $X$ je menší nebo rovno než..."

Už tam není "větší".

Zapsal sis to tak, že teď tam je "menší nebo rovno než".

Takže vidíš, že v obou případech řešíš "menší nebo rovno než".

Teď se ale můžeš ptát: Proč se dívat v obou případech na číslo nahoře?

Abys to pochopil, je nutné zjistit, co znamená termín "distribuční funkce".

Distribuční funkce - v tomhle případě distribuční funkce normovaného normálního rozdělení - je funkce, která ti říká, s jakou pravděpodobností bude mít normovaná normální proměnná hodnotu, která je nižší nebo rovna určité hodnotě. Normovaná normální proměnná se značí $z$ . Takže když u toho horního řádku je napsané $z<...$ a u toho dolního $z>...$ , tak víš, že chceš ten horní, protože ten dolní by nebyla distribuční funkce.

Teď se můžeš ještě ptát, proč je tam $z<...$ a ne $z\leq ...$ . Je to proto, že normální rozdělení je spojité. Takže pravděpodobnost kterékoliv konkrétní hodnoty je rovna nule. Jinými slovy, $P(z<...)=P(z\leq ...)$ .

OK? :)