Matematické Fórum

PlusPlusPlus · 08. 03. 2018 21:40

Ahoj,

žádám o radu, nejlépe o odkaz, kde si můžu přečíst důkaz k této záměně sum.
$\sum_{j=1}^n \sum_{k=j}^n a_{j,k}= \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^k a_{j,k}$

Děkuji
P.K.

vlado_bb · 08. 03. 2018 22:06

↑ PlusPlusPlus: Ide o sucet horneho trojuholnika stvorcovej matice, raz po riadkoch a raz po stlpcoch. Dokaz je zalozeny na komutativnosti scitania.

laszky · 08. 03. 2018 22:17

Je to diskretni verze Fubiniho (nekdy tez Tonelliho) vety, kde se vyskytuji dokonce nekonecne sumy.

Jinak ten trojuhelnik vypada takhle.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-03/43790_troju.png

PlusPlusPlus

Zdravím,

děkuji za odpovědi. Jestli to dobře chápu, tak jde vlastně o dvojný integrál. V tomto případě je uzavřená oblast integrování tento pravoúhlý trojůhelník. Jednou je to integrované v pořadí djdk, podruhé dkdj.

V jiném případě, např. $\sum_{j=1}^n \sum_{k=2}^p a_{j,k}= \sum_{k=2}^p \sum_{j=1}^n a_{j,k}$ , kdy jsou dvě sumy za sebou a kdy sčítání nezávisí ani na jedné proměnné, tak je integrovanou oblastí takového dvojného integrálu obdelník, nebo čtverec. Proto můžu přehazovat pořadí sumy dle libosti.

Pro obecnou uzavřenou oblast u dvojné sumace však neplatí totéž co pro dvojný integrál. Proto nemůže platit u sumace obecná Fubiniova věta, pouze ta diskrétní.
Když tak nad tím přemýšlím, tak mě nenapadá další uzavřená oblast , kde by se u dvojných sumací dala využít taková pěkná identita jako již zmiňované identity pro oblasti čtverce a trojuhelníka.

Snad jsem to tedy pochopil a děkuji za Váš čas a odpovědi.

Marian · 10. 03. 2018 05:26 — Editoval Marian (10. 03. 2018 07:23)

Vážení, téma je sice již označeno jako vyřešené, ale zdá se mi, že některé skutečnosti mohly zaznít a nestalo se tak.

1. (↑ vlado_bb:) Nějak nevidím, jak by se přímo měla používat komutativita sčítání. Jmenovaná vlastnost této operace je jedním ze základních praktických požadavků na ni. K důkazu jsem ji (přímo) nepotřeboval, viz bod 3. níže.

2. (↑ laszky:) Správný postřech o diskrétní analogii s vlastností dvojného integrálu je hezký. Ovšem v případě práce se sumou (natož konečnou a takto snadnou) mi to připadá jako mírně nadbytečné, a to především v souvislosti: (a) s první větou mého příspěvku a jeho textem v bodu 3. níže, (b) s původní otázkou tazatele.

3. Očekával bych, že někdo navrhne důkaz matematickou indukcí. Je tak směšně snadný a přímočarý, že ho přenechávám jako formu vtipu původnímu tazateli.

vlado_bb

↑ Marian: Este k tej komutativnosti. Rovnost v povodnom prispevku pre napriklad $n=3$ je takato:

$a_{1,1}+a_{1,2}+a_{1,3}+a_{2,2}+a_{2,3}+a_{3,3}=a_{1,1}+a_{1,2}+a_{2,2}+a_{1,3}+a_{2,3}+a_{3,3}$ .

Podobne aj pre ine $n$ ide o scitanie tej istej konecnej mnoziny realnych cisel raz v jednom, raz v inom poradi. Otazka znela, preco sa tieto sucty rovnaju. Myslim, ze poukazanie na komutativitu je pre pochopenie rovnosti podstatne. Samozrejme, suhlasim s tym, ze indukcia je zrejme najjednoduchsia metoda formalneho dokazu. Rovnako aj s tym, ze Fubiniho veta je uz asi za hranicou povodnej otazky, aj ked suvislost tu pochopitelne je.

PlusPlusPlus · 10. 03. 2018 19:50

Ahoj,

1. ověřím pro $n=1$
$\sum_{j=1}^1 \sum_{k=j}^1 a_{j,k}= \sum_{k=1}^1 \sum_{j=1}^k a_{j,k}$ implikuje $a_{1,1}=a_{1,1}$ , tedy rovnost platí
2. Předpokládám tedy, že vztah platí i pro libovolné n $\sum_{j=1}^n \sum_{k=j}^n a_{j,k}= \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^k a_{j,k}$
3. Dokázuji že rovnost platí i pro n+1 $\sum_{j=1}^{n+1} \sum_{k=j}^{n+1} a_{j,k}= \sum_{k=1}^{n+1} \sum_{j=1}^k a_{j,k}$ upravím pravou stranu $\sum_{j=1}^{n+1} \sum_{k=j}^{n+1} a_{j,k}= \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^k a_{j,k} + \sum_{j=1}^{n+1} a_{j,n+1}$
Do pravé strany rovnice dosadím indukční předpoklad $\sum_{j=1}^{n+1} \sum_{k=j}^{n+1} a_{j,k}= \sum_{j=1}^n \sum_{k=j}^n a_{j,k} + \sum_{j=1}^{n+1} a_{j,n+1}$
a je hotovo $\sum_{j=1}^{n+1} \sum_{k=j}^{n+1} a_{j,k}= \sum_{j=1}^{n+1} \sum_{k=j}^{n+1} a_{j,k}$

Tak díky všem za příspěvky.

PlusPlusPlus

↑ Marian:

Ještě mě tak napadlo takovéto zobecnění
$\sum_{j=p}^n \sum_{k=j}^n a_{j,k}= \sum_{k=p}^n \sum_{j=p}^k a_{j,k}$
kde $p,n$ jsou nějaká celá čísla, současně $p$ je menší nebo rovno $n$ . Tady indukce nezafunguje.

Tady bys jak postupoval?

Marian · 24. 04. 2018 12:13

↑ PlusPlusPlus:

Já v indukci problém nevidím. Prošlo mi to.

vlado_bb · 24. 04. 2018 12:42

↑ PlusPlusPlus: Aj tu ide iba o sucet tych istych cisel, raz v istom poradi, raz zasa v inom.

Matematické Fórum

#1 08. 03. 2018 21:40

Záměna sumy

#2 08. 03. 2018 22:06

Re: Záměna sumy

#3 08. 03. 2018 22:17

Re: Záměna sumy

#4 09. 03. 2018 17:47 — Editoval PlusPlusPlus (09. 03. 2018 17:48)

Re: Záměna sumy

#5 10. 03. 2018 05:26 — Editoval Marian (10. 03. 2018 07:23)

Re: Záměna sumy

#6 10. 03. 2018 12:12 — Editoval vlado_bb (10. 03. 2018 12:13)

Re: Záměna sumy

#7 10. 03. 2018 19:50

Re: Záměna sumy

#8 10. 03. 2018 20:30 — Editoval PlusPlusPlus (10. 03. 2018 20:48)

Re: Záměna sumy

#9 24. 04. 2018 12:13

Re: Záměna sumy

#10 24. 04. 2018 12:42

Re: Záměna sumy

Zápatí