Matematické Fórum

MatematickyZlocinec · 11. 03. 2018 22:42

Zdravím,

nemůžu se dopracovat ke správné derivaci $\frac{3^{\sin x}}{\ln 3}$ . Když to beru tak že ln 3 je číslo použiju vzorec $f(x)*g(x)= \cos x * 3^{\sin x} \ln 3 + 3^{\sin x} * 0$ . Správný výsledek je jen $\cos x * 3^{\sin x}$ a nevím proč. Pokus omyl na všechny možné způsoby vede jen ke složitějšímu výsledku, který je taky nesprávný. Jaký je správný postup ? Díky.

laszky · 11. 03. 2018 23:00 — Editoval laszky (16. 03. 2018 23:06)

$\left(\frac{3^{\sin x}}{\ln 3}\right)' = \frac{1}{\ln3}\left(3^{\sin x}\right)' = \frac{1}{\ln3}\left(\left(\mathrm{e}^{\ln3}\right)^{\sin x}\right)' = \frac{1}{\ln3}\left(\mathrm{e}^{(\ln3)(\sin x)}\right)' = \frac{1}{\ln3}\left(\mathrm{e}^{(\ln3)(\sin x)}\right)\Bigr((\ln3)(\sin x)\Bigr)'$
$= \frac{1}{\ln3}\left(\mathrm{e}^{(\ln3)(\sin x)}\right)(\ln3)(\sin x)' = \frac{1}{\ln3}\,\mathrm{e}^{(\ln3)(\sin x)} (\ln 3) (\cos x) = \mathrm{e}^{(\ln3)(\sin x)} \cos x = 3^{\sin x}\cos x$

Edit: Pridal jsem tam zavorky, aby nedochazelo k nedorozumeni.

MatematickyZlocinec · 16. 03. 2018 14:45

Děkuju.

Al1 · 16. 03. 2018 21:16

↑ MatematickyZlocinec:

Zdravím,

doufám, že je ti postup opravdu jasný, neboť se zápis dá interpretovat různě. Platí:
$3^{\sin x}=\mathrm{e}^{\ln \left(3^{\sin x}\right)}=\mathrm{e}^{{\sin (x)}\cdot \ln (3)}$

Matoucí je totiž zápis $\mathrm{e}^{{\ln 3\sin x} }$ a také $\ln 3\cos x$

MatematickyZlocinec · 16. 03. 2018 22:02

Zdravím,

popravdě ani ne. Podařilo se mi najít $a^{\log_{a} x}=x$ a napasoval jsem to na $\mathrm{e}^{{\ln 3\sin x} }$ .

Chtěl bych se spíš zeptat jestli je v pořádku při derivaci vynechat $\frac{1}{\ln 3}$ z procesu derivování tak jako to udělal laszky nebo naopak použít vzorec pro podíl dvou funkcí. V tom případě by to bylo $\frac{3^{\sin x}}{\ln 3} = \frac{3^{sin x} * \ln x * \cos x * \ln x - 3^{sin x} * 0} {\ln ^2{x}} = 3^{\sin x} * \cos x$ a nevím proč jsem se do tohohle řešení předtím "netrefil".

Díky.

Al1 · 16. 03. 2018 22:36

↑ MatematickyZlocinec:

Správně jsi usoudil, že ln(3) je konstanta, v tvém příkladu je ovšem konstanta ve formě $\frac{1}{\ln (3)}$ .
↑ laszky: užil určitě správně vztah $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x), k\neq0$

Ovšem tvůj návrh řešení není správný. Nemůžeš zaměnit ln(3) za ln(x)

Takže počítáš $\frac{1}{\ln (3)}\cdot \left(3^{\sin (x)}\right)'$

↑ laszky: užil vztah $a^b=e^{b\ln \left(a\right)}$

Lze užít přímo derivaci složené funkce. Vnitřní funkce je sin(x), derivace je rovna cos(x). Vnější funkce je $3^{u}; u=\sin (x)$ , derivace je $3^{u}\cdot \ln (3)=3^{\sin (x)}\cdot \ln (3)$

Konečný výpočet $\frac{1}{\ln (3)}\cdot \left(3^{\sin (x)}\right)'=\frac{1}{\ln (3)}\cdot \cos(x)\cdot3^{\sin (x)}\cdot \ln (3)$ A stačí jen pokrátit.