Matematické Fórum

Andrejka3

Ahoj.
Mám těleso, které vznikne z krychle odřezáním všech jejích rohů (v půlkách hran). Zajímalo by mě, jak by se dala vypočítat pravděpodobnost, že po náhodném hodu padne trojúhelník (stojí na trojúhelníkové stěně).

Máte nějaký nápad (kromě dostatečně mnohokrát opakovaného pokusu :D )?

Ferdish

Ak steny považuješ za rovnocenné, čo tak pomer počtu trojuholníkových stien k celkovému počtu stien telesa? :-)

Andrejka3

↑ Ferdish:
Ráda bych to přiblížila skutečnosti. Myslím, že nejsou rovnocenné.

Možná by mohlo mít smysl uvažovat situaci, kdy kostka leží na hraně, projít úhly náklonu a dívat se, kde je těžiště -- kam se to převáží (mi poradil kamarád)(?)

Edit: Pokud je ta kostka právě postavená na hranu a má nulovou rychlost, pak s 64% pravděpodobností spadne na čtverec. viz Wolfram

Ferdish

Tak samozrejme, v prípade nerovnocennosti bude treba uvažovať polohu ťažiska a veľkosti uhlov naklonenia.

V tom prípade ale (aby sme sa naozaj priblížili skutočnosti) bude treba okrem prípadu, kedy teleso leží na hrane, uvažovať aj prípad, kedy kocka bude balansovať na vrchole...

Andrejka3 · 14. 03. 2018 07:24

↑ Ferdish:
Jak na to? A jak potom vyvodit něco z těch dvou výsledků?

Honzc · 14. 03. 2018 12:20

↑ Andrejka3:
Takové těleso se nazývá "cuboctahedron".
Obrázek

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Zkusil bych třeba jako poměr ploch (povrchů)(předpokládejme hrana=a=1)
Pak
$S_{c}=6+2\sqrt{3}$
$S_{t}=2\sqrt{3}$
$p=\frac{S_{t}}{S_{c}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0.366$

vanok · 14. 03. 2018 13:33 — Editoval vanok (14. 03. 2018 18:16)

Pozdravujem ↑ Honzc: a tiez aj ↑ Andrejka3:,
To si myslel na https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cuboctahedron.
Ale pozor. Taka obrezana kocka ma vsetki hrany rovnakej dlzky.
A tiez je dobre vyvazena, lebo ak sa nemylim vtedy aj vzdialenost vrcholov od centra objemu je taka ista ako dlzka hran.
Edit. Ako to potvrdil kolega Honzc ↑ Honzc:
Edit.
(Ake su ine stabilne situacie obrezanej kocky? Ine ako dva extremne pripady, povodnu kocku a uplne obrezanej kocky, co da pravidelny tetraeder.
Edit.
Dalsie stopy ako vysetrit stabilitu
Vdaka https://en.m.wikipedia.org/wiki/Stabili … 564203723.
No vsak neviem ako modelizovat taku situaciu.

Honzc · 14. 03. 2018 14:31 — Editoval Honzc (14. 03. 2018 14:36)

↑ vanok:
Však v zadání je, že rohy se ořezávají do poloviny hran
Pak takové těleso je popravidelné (Archimedes) těleso cuboctotahodron tvořené 8-mi rovnostrannými trojúhelníkovými plochami a 6-ti čtverci. Takové těleso má všechny hrany stejně dlouhé.
Dokonce když budeme řezat krychli o hraně délky a=sqrt(2) bude délka krany c. dlouhá c=1.
Něco ktomuto tělesu Tady

Opsaná koule má poloměr opravdu R=1, těžiště tělesa je v jejím středu.
Z toho jsem vycházel při výpočtu

Stýv · 14. 03. 2018 15:08

Já bych vyšel z velikosti prostorových úhlů se středem v těžišti.

laszky · 14. 03. 2018 16:38 — Editoval laszky (19. 03. 2018 22:50)

Ahoj, pokusil jsem se na to prijit takhle...

Spocital jsem energii, ktera je nutna k prevraceni kostky ze ctverce na trojuhelnik, resp. obracene. To mi vyslo

$\square \to \Delta \qquad E_{ct}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})mga \; \approx \; 0.1589\, mga$

$\Delta\to\square\qquad E_{tc}=\frac{\sqrt{3}}{6}(\sqrt{2}-1)mga \; \approx \; 0.1196\, mga$

Takze by se zdalo, ze ctverec bude padat casteji, protoze k prevraceni na ctverec je zapotrebi mene energie.

Pak jsem se snazil vzit do uvahy kinetickou energii kostky. Pri prechodu z trojuhelnika na ctverec dojde ke zmene smeru rychlosti a ta by se mela zmensit.

$\square\to\Delta \qquad v_{ct,out} = v_{ct,in}\cos{0} = v_{ct,in}$

$\Delta\to\square \qquad v_{tc,out} = v_{tc,in}\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} v_{tc,in}$

Tim padem se zmensi i kineticka energie a lze urcit rychlosti, pri kterych dojde k prevraceni na jednu stenu, ale na dalsi stenu uz se kostka neprevrati.

Ctverec tedy padne, pokud

$\square \qquad \frac{\sqrt{3}}{6}(\sqrt{2}-1)\,mga \leq E_{kin,in}= E_{kin,out} < \frac{1}{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,mga$

Trojuhelnik padne pokud

$\Delta \qquad \frac{1}{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,mga \leq E_{kin,in}=4 E_{kin,out} <4\cdot \frac{\sqrt{3}}{6}(\sqrt{2}-1) \,mga$

Pro rychlosti to vychazi nasledovne.

$\square \qquad (\sqrt{ga}\,0.4890)^2\; \approx \; ga \frac{\sqrt{3}}{3}(\sqrt{2}-1) \leq v_{\square}^2 < ga(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \; \approx \; (\sqrt{ga}\,0.5638)^2$

$\Delta \qquad (\sqrt{ga}\,0.5638)^2\; \approx \; ga(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \leq v_{\Delta}^2 < 4ga \frac{\sqrt{3}}{3}(\sqrt{2}-1) \; \approx \; (\sqrt{ga}\,0.9781)^2$

Pokud je tedy tesne pred pritisknutim steny k podkladu rychlost v uvedenem rozmezi, kostka se jiz dale neprevrati, zaroven ale rychlost byla dostatecne velka, aby se kostka mohla na aktualni stenu prevratit. Ted by se mozna melo urcit jake je rozmezi pocatecnich rychlosti kostky a urcit z jake pocatecni rychlosti lze dospet do jednoho z uvedenych stavu (samozrejme pro idealni podklad a idealni "kostku" ktera neskace atd.).

Ale jelikoz nejsem fyzik, tak je taky mozny, ze jsem nekde napsal nesmysl :-)

Edit: Opravil jsem preklep ve dvou cislech.

Jeste dalsi uvahy:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Andrejka3 · 14. 03. 2018 17:00

Ahoj všichni! A dík. Vyrábí se dřevěný exemplář.

↑ Honzc: a ↑ Stýv: vyjde stejně, že?

↑ vanok: jsem přelítla, a vypadá to nad moje možnosti.

↑ laszky: se pokusím vstřebat.

Stýv · 14. 03. 2018 21:04

Andrejka3 napsal(a):
↑ Honzc: a ↑ Stýv: vyjde stejně, že?

Tím si právě nejsem jistý. Určitě to bude podobný číslo, ale plocha stěny nemusí být přímo úměrná ploše jejího průmětu na opsanou kouli.

Andrejka3 · 14. 03. 2018 23:31

check_drummer: Tu závorku jsem psala speciálně kvůli Tobě, ale příště Ti to potěšení nevezmu :)

MichalAld · 15. 03. 2018 20:21

Podle mě to určitě souvisí s tou energií, potřebnou k tomu, aby se kostka dostala z polohy "sedící na ploše" do polohy "na hraně", odkud se může zase převalit jinam.

Jen nevím, jestli pravděpodobnost bude lineárně úměrná té energii, nebo to bude spíš něco jako Boltzmanovo rozdělení

Pokud budou rohy seříznuté "dobře", aby energie na rohové ploše byla stejná jako na kostkové ploše, měla by být i pravděpodobnost stejná - krom samozřejmě toho, že rohů bylo 8, zatímco ploch jen 6.

Ale ještě je tam komplikace s tvarem těch ploch, jedny budou mít tvar trojúhelníka, jiné šestiúhelníka, takže závislost na směru rychlosti bude také jiná. Ale otázka je, jestli to má na něco vliv, protože třeba ve statistické mechanice (odkud pochází to Boltzmanovo rozdělení) závisí pravděpodobnost obsazení stavu jen na jeho energii, a tyhle podružné síly (co nekonají práci) nemají na nic vliv. Jenže je otázka, lze li tohle aplikovat na házení kostkou.

Pokud by se měla i kostka při vrhu řídit Boltzmanovou mechanikou, pak je to velmi jednoduché - pravděpodobnost stavu záleží jen na jeho energii (výšce těžiště nad podložkou), a to exponenciálně. Ale jak říkám, to platí pro stav tepelné rovnováhy, což kostka zrovna není.

Taky je možné že se to bude chovat jinak při házení na hladké (kluzké) podložce, jako třeba na povrchu stolu, a jinak třeba na stolu pokrytém gumou....já si popravdě nedokážu představit ani výpočet toho, jak dlouho se vydrží kostka po stole kutálet.

MichalAld · 15. 03. 2018 20:52

Andrejka3 napsal(a):
Pokud je ta kostka právě postavená na hranu a má nulovou rychlost, pak s 64% pravděpodobností spadne na čtverec. viz Wolfram

Nemáš k dispozici nějaké jednoduché fyzikální zdůvodnění, proč by to tak mělo být ?

Podle mě, pokud stojí kostka na hraně (že její těžiště je svisle nad tou hranou), bude tak stát navěky. Plyne to z 2. Newtonova zákona.

A pokud kostka nakonec na nějakou stranu spadne, tak je to buď proto, že nebyla postanevá úplně přesně, nebo proto, že na ni zapůsobila nějaká malinká síla, kterou jsme přehlédli - závan větru, zachvění podložky, prostě cokoliv.

V obou případech "ta věc" co způsobila pád kostky na konkrétní stranu vůbec nesouvisí s geometrií kostky samotné.

Matematické Fórum

#1 13. 03. 2018 11:23 — Editoval Andrejka3 (13. 03. 2018 11:30)

Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#2 13. 03. 2018 11:41 — Editoval Ferdish (13. 03. 2018 11:42)

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#3 13. 03. 2018 12:20 — Editoval Andrejka3 (13. 03. 2018 13:07)

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#4 13. 03. 2018 14:56 — Editoval Ferdish (13. 03. 2018 14:56)

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#5 14. 03. 2018 07:24

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#6 14. 03. 2018 12:20

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#7 14. 03. 2018 13:33 — Editoval vanok (14. 03. 2018 18:16)

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#8 14. 03. 2018 14:31 — Editoval Honzc (14. 03. 2018 14:36)

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#9 14. 03. 2018 15:08

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#10 14. 03. 2018 16:38 — Editoval laszky (19. 03. 2018 22:50)

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#11 14. 03. 2018 17:00

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#12 14. 03. 2018 17:56 Příspěvek uživatele check_drummer byl skryt uživatelem check_drummer. Důvod: Aha, to je zakázané. :-)

#13 14. 03. 2018 21:04

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

Andrejka3 napsal(a):

#14 14. 03. 2018 23:31

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#15 15. 03. 2018 00:18 Příspěvek uživatele laszky byl skryt uživatelem laszky.

#16 15. 03. 2018 20:21

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

#17 15. 03. 2018 20:52

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

Andrejka3 napsal(a):

Zápatí