Matematické Fórum

fyzikus13 · 17. 03. 2018 12:44

V učebniciach z fyziky je často pri téme rovnomerný pohyb po kružnici uvedený príklad guľočky na lanku. Táto guľočka sa nahradí hm. bodom a pre neho sa opisuje pohyb po kružnici. Ak sa potom lanko pretrhne hm. bod bude podľa zákona zotrvačnosti konať rovnomerný priamočiarý pohyb (ak sa zanedbajú iné sile posobiace na hm. bod). Smer pohybu hm. bod bude smerom vektora rýchlosti hm. bod v okamihu pretrhnutia lanka a veľkosť rýchlosti je:
$v=\omega l$
,kde l je dĺžka lanka.
Čo ak by ,ale guľočka mala rozmery ,teda by mala nejaký polomer $r$ . Potom by mal mať bod na jednom kraji gule rýchlosť $v_{1}=\omega l$ , a bod na druho kraji gule $v_{2}=\omega(l+2r)$ . Potom by ,ale tieto dva body ,mali prejsť za rovnaký časový úsek $t$ rozne dĺhe dráhy. Potom by teda tá guľa mala konať zložený pohyb? Teda mala by konať translačný pohyb s rýchlosťou $v_{1}=\omega l$ a zároveň rotačný pohyb okolo bodu ,kt. rýchlosť je najmenšia s uhlovou rýchlosťou:
$\omega _{2}=\frac{v_{2}-v_{1}}{2r}=\frac{\omega [(l+2r)-l]}{2r}=\omega$

Jj · 17. 03. 2018 13:10

↑ fyzikus13:

Dobrý den.

Řekl bych, že při jiném pohledu na oběh kuličky se skládá

- oběh středu kuličky po kružnici o poloměru R = l + r,
- rotace kuličky kolem středu, frekvence f = 1 otočka během 1 oběhu kružnice.

(Podobně jako oběh Měsíce kolem Země).

Takže očekávám, že při přetrhnutí lanka se bude střed kuličky pohybovat po přímce a kulička se bude kolem něj otáčet s frekvencí f.

fyzikus13 · 17. 03. 2018 13:17

Aha rozumie ako to myslíte ,ale ak je gulička pripevnená o napnuté lanko ,tak nebude lanko brániť rotácii guličky okolo vlastnej osi?. A teda kým je gulička pripevnená o lanko nebude konať iba translačný pohyb?

Jj · 17. 03. 2018 13:26 — Editoval Jj (17. 03. 2018 13:43)

↑ fyzikus13:

Právě to lanko donutí kuličku k synchronnímu otáčení. Ze středu kružnice by při pohledu na kuličku byl vidět stále jen závěs lanka (tj. zdánlivě bez otáčení kuličky), "z venku" by byla zřejmá její otočka.

Řekl bych, že obě naše úvahy by z pohledu z nerotující souřadné soustavy měly zřejmě vést ke stejnému výsledku.

fyzikus13 · 17. 03. 2018 13:41

Predstavme si ,ale že namiesto lanka budeme tu guľu držať v ruke (teda namiesto lanka ,je guľa spojená so stredom kružnice našou rukou) a začneme sa otáčať ,ako pri hode guľou ,akurát sa budeme otáčať stálou uhlovou rýchlosťou. Vzhľadom na nás sa predsa guľa nerotuje okolo vlastnej osi, oba spolu s nami sa otáča okolo spoločnej osi ,a teda vzhľadom na nas koná iba translačný pohyb. Alebo som niekde urobil chybu?

Jj · 17. 03. 2018 13:54

↑ fyzikus13:

Představme si bod na kouli nejvzdálenější od atleta, který na začátku jeho otáčení bude ukazovat na východ. Bude na východ ukazovat během celé jeho otočky?

fyzikus13 · 17. 03. 2018 14:06

Ano ten bod sa bude otáčať ,ale nie náhodou len okolo stredu kružnice? Lebo ak by sa otáčal aj okolo stredu gule ,musela by sa guľa otáčat aj v našej ruke ,resp pri otáčaní by pretrhla lanko.

Jj · 17. 03. 2018 14:47 — Editoval Jj (17. 03. 2018 14:51)

↑ fyzikus13:

Jenže, pokud se koule otočí kolem svého středu synchronně s pohybem atleta (1 otočka koule během 1 otočky atleta), nebude koule trhat lanko, takže ...

Což si k tomu udělat náčrtek se zachycením několika poloh koule?

Nebo s využitím vašich úvah:

Okamžitá rychlost středu koule $v_S = (l+r)\omega$
Okamžitá rychlost nejbližšího bodu: $v_1 = l \omega$
Okamžitá rychlost nejvzdálenějšího bodu: $v_2=(l+2r)\omega$

Tyto rychlosti jsou kolmé k poloměru kružnice ---> jsou rovnoběžné.

Okamžité rychlosti vzhledem ke středu koule (ve směru kolmo na poloměr kružnice):

$w_1 = v_1 - v_S = - r\omega$
$w_2 = v_2 - v_S = + r\omega$

---> ....

fyzikus13 · 17. 03. 2018 15:00

↑ Jj:
Aha ,už chápem. Ďakujem za vysvetlenie.

fyzikus13 · 17. 03. 2018 15:23

Prepáčte ,že toľko otrvaujem ,ale napadla ma ešte jaedna vec. Predstavme si 3 troch atlétov na kruhovom ihrisku ,pričom ich dráhy sú tri sústredné kružnice. Prvá kružnica má polomer $l$ ,druhá $l+r$ a tretia $l+2r$ . Každý z atlétov prebehne svoju dráhu za rovnaký čas $t$ . Potom veľkosti rýchlosti týchto atlétov sú:
$v_{1}=\frac{2\pi l}{t}$
$v_{2}=\frac{2\pi (l+r)}{t}$
$v_{2}=\frac{2\pi (l+2r)}{t}$
Potom rýchlosť prvého a tretieho atléta vzhľadom na druhého atléta je:
$w_{1}=v_{1}-v_{2}=\frac{2\pi }{t}(l-l-r)=-\frac{2\pi r}{t}$
$w_{3}=v_{3}-v_{2}=\frac{2\pi }{t}(l+2r-l-r)=\frac{2\pi r}{t}$
Teraz všetci traja atléti vyštartujú súčasne zo svojich štartovacích bodov ležiacich na jednej priamke. Podľa mňa všetci dorazia naraz do cieľa (speť na svoj štartovací bod) a v každom okamihu budú na jednej priamke. Teda nebudú behať opačnými smermi.

MichalAld · 17. 03. 2018 16:19

Není lepší si pro začátek představit kuličku upevněnou třeba v Kardanově závěsu, aby se mohla volně otáčet kolem své osy? Potom nebude mezi hmotným bodem a kuličkou žádný rozdíl.

Pokud ji připevníme za očko na jejím povrchu, donutíme ji tím také k rotaci kolem vlastní osy, ale to nemusí být všechno - také se může kývat kolem rovnovážné polohy - a to dokonce ve dvou osách a jejich kombinacích (a při tom na ni ještě možná bude působit Coriolisova síla...), ony se ty věci dokáží docela rychle zesložitit, když si nedáme chvíli pozor...

MichalAld · 17. 03. 2018 16:22

fyzikus13 napsal(a):
Teraz všetci traja atléti vyštartujú súčasne zo svojich štartovacích bodov ležiacich na jednej priamke. Podľa mňa všetci dorazia naraz do cieľa (speť na svoj štartovací bod) a v každom okamihu budú na jednej priamke. Teda nebudú behať opačnými smermi.

Nechceš to napsat tak, aby to dávalo smysl ?

fyzikus13 · 17. 03. 2018 16:27

↑ MichalAld:
Asi si to nejak zle predstavujem ,abo čo. Proste nechápem prečo by sa mala otáčať okolo vlastnej osi? Posobí na ňu aj nejaká iná sila okrem dostredivej ,alebo jak?

Jj · 17. 03. 2018 16:35 — Editoval Jj (17. 03. 2018 16:37)

↑ fyzikus13:

Střední atlet vidí prvního, jak mizí dozadu, tzn. vůči němu má první zápornou rychlost, třetí jej předbíhá, vůči němu má kladnou rychlost. Kromě toho je okamžitá rychlost všech tří stále kolmá na jejich spojnici - ta se tudíž otáčí kolem středního, "a to tak akorát", že její prodloužení prochází stále středem stadionu.

Pokud si představíme, že nad středním závodníkem letí helikoptéra, která se neumí otočit (její nos míří stále k severu) a polohu mění jen skluzem pomocí hlavní vrtule, tak pilot při pohledu dolů vidí jen stojícího středního kolem nějž rotují oba krajní.

(Moc chytrý ten příklad asi není, ale co už).

Záleží na tom, vůči čemu se pohyb vztahuje. Vzhledem ke znění původního dotazu jsem považoval za rozumné rozložit složený pohyb kuličky na její rotaci kolem středu a na oběh jejího středu po kružnici (nevidím důvod, proč by se její rotace měla po utržení změnit).

Vy jste na její pohyb nahlédl z jiné stránky - ale po přepočtu rychlostí vůči středu kružnice na rychlosti vůči středu koule dojdeme k témuž.

Edit: Sice pozdě (dlouho mi to trvalo), ale nechám to tu.

MichalAld · 17. 03. 2018 16:38

fyzikus13 napsal(a):
↑ MichalAld:
Asi si to nejak zle predstavujem ,abo čo. Proste nechápem prečo by sa mala otáčať okolo vlastnej osi? Posobí na ňu aj nejaká iná sila okrem dostredivej ,alebo jak?

No jistě, pokud není "uvázaná za střed". Představi si, že máš tu kouli s očkem na povrchu (a provázkem) někde ve volném vesmíru, nebo třeba položenou na stole. A pak zatáhneš za provázek - ale né v tom směru, kam míří očko, ale kolmo na něj - tečně k povrchu koule. A světe div se, koule se pootočí....

Celou věc ovšem komplikuje fakt, že pokud v systému není žádné tření, žádné ztráty, nikdy se to neustálí, pořád se to bude nějak kývat.

Možná tě mate představa koule, tak si představi nějakou dlouhou tyčku, pověšenou za jeden konec na provázek. A teď si ji trochu rozpohybuj...

fyzikus13 · 17. 03. 2018 16:44

↑ MichalAld:
Čiže Keď si vezmem nejakú tyč a upevním ju o lano a budem sa s ňou otáčať vo vzduchu ,ona sa bude spolu som mnou otáčať okolo stredu kružnice (teda osi mojho tela) a zároveň okolo svojej vlastnej osi (ak je tyč rovnobežná so zemou tak okolo vodorovnej osi).

MichalAld · 17. 03. 2018 16:58

fyzikus13 napsal(a):
↑ MichalAld:
Čiže Keď si vezmem nejakú tyč a upevním ju o lano a budem sa s ňou otáčať vo vzduchu ,ona sa bude spolu som mnou otáčať okolo stredu kružnice (teda osi mojho tela) a zároveň okolo svojej vlastnej osi (ak je tyč rovnobežná so zemou tak okolo vodorovnej osi).

No jo, musíš si uvědomit, že pohyb tělesa je něco jiného než pohyb hmotného bodu. Zatímco u hmotného bodu nám stačí znát polohu (v rovině tedy souřadnice x,y), u tělesa musíme znát ještě úhel jeho natočení (zase jsme v rovině, ve 3D prostoru už ty úhly jsou 3).

S tím úhlem natočení je to trochu těžké na představu, u úhlu totiž nelze říct, "kolem čeho" se to otáčí. Prostě se to otáčí.

Pokud chceme tedy popsat pohyb tělesa (v rovině), musíme popisovat, jak se mění jeho poloha a zároveň jeho úhel natočení. Říkáme, že pohyb lze vyjádřit složením TRANSLAČNÍHO a ROTAČNÍHO pohybu. Někdy je vhodné popisovat pohyb tělesa s využitím jeho těžiště (není to ale vůbec nutné). Takže popisujeme, jak se pohybuje těžiště tělesa, a zároveň jak se těleso otáčí kolem svého těžitě. To vše vůči osám našeho souřadného systému.

Takže pokud by těleso nevykonávalo rotaci, muselo by svírat pořád stejný úhel s osami našeho souřadného systému.

Ona je tam totiž ještě jedna nevyslovená podmínka - že pohyb tělesa popisujeme vzhledem k nějakému INERCIÁLNÍMU systému. Pokud bychom "na to koukali" z nějakého "rotujícího systému", tak se těleso samozřejmě nemusí otáčet ani pohybovat. Jenže v těchto "rotujících" systémech neplatí ty Newtonovy zákony, jak je známe. Neplatí tam zákon setrvačnosti, tak jak jej známe.

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2018 12:44

pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#2 17. 03. 2018 13:10

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#3 17. 03. 2018 13:17

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#4 17. 03. 2018 13:26 — Editoval Jj (17. 03. 2018 13:43)

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#5 17. 03. 2018 13:41

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#6 17. 03. 2018 13:54

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#7 17. 03. 2018 14:06

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#8 17. 03. 2018 14:47 — Editoval Jj (17. 03. 2018 14:51)

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#9 17. 03. 2018 15:00

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#10 17. 03. 2018 15:23

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#11 17. 03. 2018 16:19

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#12 17. 03. 2018 16:22

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

fyzikus13 napsal(a):

#13 17. 03. 2018 16:27

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#14 17. 03. 2018 16:35 — Editoval Jj (17. 03. 2018 16:37)

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#15 17. 03. 2018 16:38

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

fyzikus13 napsal(a):

#16 17. 03. 2018 16:44

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

#17 17. 03. 2018 16:58

Re: pohyb po kružnici telesa s rozmermi

fyzikus13 napsal(a):

Zápatí