Matematické Fórum

Roscelinius · 21. 03. 2018 08:48

Dobrý den,
měl bych otázku ohledně kovariantních a kontravariantních indexů v derivacích. Ve skriptech Kulhánka ( http://www.aldebaran.cz/studium/mechanika.pdf ), při odvození Lagrangeových rovnich z hustoty lagrangianu pro skalární pole (1.231), jedná se mi o zkrácený výpočet na str. 79 uvozený "... a ještě kratší řešení". V druhém kroku výpočtu je symbolická derivace součinu:
$\frac{\partial }{\partial \varphi ,_{\alpha }} ( \varphi _{,\alpha }\varphi ^{,\alpha })$
$= \frac{\partial (\varphi _{,\alpha })}{\partial \varphi ,_{\alpha }}\varphi ^{,\alpha } + \varphi _{,\alpha }\frac{\partial (\varphi ^{,\alpha })}{\partial \varphi ,_{\alpha }}$
$=\varphi ^{,\alpha }+\varphi _{,\alpha }= 2\varphi ^{,\alpha }$

a k tomu mám otázku: je možné "pokrátit" derivace podle proměnné s horním indexem s derivací podle stejné proměnné se stejným indexem akorát dolním? A jde sečíst dva výrazy, když jeden má horní index a druhý dolní? Nebo je to jen v tomto případě definice hustoty lagrangianu přes čtyřgradienty skalárního pole? Chápu smysl zavedení kovariantních a kontravariantních indexů, ale nejsem moc kovaný v tom, co si s nimi mohu dovolit.
Děkuji
Bulušek

laszky · 21. 03. 2018 14:27

↑ Roscelinius:

Podle me proste jen zkratil ten predchozi vypocet do jednoho radku. Tam je videt, proc to tak vychazi ;-)

MichalAld · 21. 03. 2018 22:23

↑ laszky:
Ty tomu rozumíš (kovariantním derivacím) ? Bych se příležitostně taky na něco zeptal...

laszky · 21. 03. 2018 22:41

↑ MichalAld:

Nejsem zadnej expert, musel jsem si to trochu pripomenout, takze bych ti spis doporucil nekoho jinyho. :) Navic ty fyzikalni zapisy obecne jsou obcas (z matematickyho pohledu) trestny cin :-)

Roscelinius

↑ laszky: Nemyslím si, že by to byl stejný výpočet, podle kontextu jsou to tři různé způsoby výpočtu. Navíc zadání je zde přeidexováno z μ na α bez přepočtu přes metriku g a Kroneckerovo delta δ .

Jde mi o to, jestli je správné interpretovat výpočet takto:
$\partial_{\alpha } [\frac{\partial L}{\partial \varphi _{,\alpha } }]- \frac{\partial L}{\partial \varphi }=$
$=\partial_{\alpha } [\frac{\partial (\frac{1}{2} \varphi _{,\alpha } \varphi ^{,\alpha }) }{\partial \varphi _{,\alpha } }]- \frac{\partial (\frac{1}{2} \varphi _{,\alpha } \varphi ^{,\alpha }) }{\partial \varphi }=$
$=\frac{1}{2} \partial _{\alpha } \frac{\partial }{\partial\varphi _{,\alpha } } (\varphi _{,\alpha }\varphi ^{,\alpha })-0 =$
$= \frac{1}{2} \partial _{\alpha } [\frac{\partial (\varphi _{,\alpha })}{\partial \varphi ,_{\alpha }}\varphi ^{,\alpha } + \varphi _{,\alpha }\frac{\partial (\varphi ^{,\alpha })}{\partial \varphi ,_{\alpha }} ]=$
$= \frac{1}{2} \partial _{\alpha } [1\cdot \varphi ^{,\alpha } + \varphi _{,\alpha }\cdot 1 ]=$
$= \frac{1}{2} \partial _{\alpha } [2\cdot \varphi ^{,\alpha } ]=$
$= \varphi ^{,\alpha } \varphi _{,\alpha }= \square \varphi$

Díky za reakce

Roscelinius · 24. 03. 2018 11:35

Kdyby snad někdo věděl a chtěl zareagovat, tak mě napadlo, co kdyby to šlo pomocí snížení a zvýšení indexů
$\partial_{\alpha } [\frac{\partial L}{\partial \varphi _{,\alpha } }]- \frac{\partial L}{\partial \varphi }=$
$=\partial_{\alpha } [\frac{\partial (\frac{1}{2} \varphi _{,\alpha } \varphi ^{,\alpha }) }{\partial \varphi _{,\alpha } }]- \frac{\partial (\frac{1}{2} \varphi _{,\alpha } \varphi ^{,\alpha }) }{\partial \varphi }=$
$=\frac{1}{2} \partial _{\alpha } \frac{\partial }{\partial\varphi _{,\alpha } } (\varphi _{,\alpha }\varphi ^{,\alpha })-0 =$
$= \frac{1}{2} \partial _{\alpha } [\frac{\partial (\varphi _{,\alpha })}{\partial \varphi ,_{\alpha }}\varphi ^{,\alpha } + \varphi _{,\alpha }\frac{\partial (\varphi ^{,\alpha })}{\partial \varphi ,_{\alpha }} ]=$
$= \frac{1}{2} \partial _{\alpha } [\frac{\partial (\varphi _{,\alpha })}{\partial \varphi ,_{\alpha }}\varphi ^{,\alpha } + \varphi ^{,\alpha }\frac{\partial (\varphi _{,\alpha })}{\partial \varphi ,_{\alpha }} ]=$

-je možné povýšit nebo snížit indexy i v derivacích?

dál už by to bylo snadné:
$= \frac{1}{2} \partial _{\alpha } [1\cdot \varphi ^{,\alpha } + \varphi ^{,\alpha }\cdot 1 ]=$
$= \frac{1}{2} \partial _{\alpha } [2\cdot \varphi ^{,\alpha } ]=$
$= \varphi ^{,\alpha } \varphi _{,\alpha }= \square \varphi$

Odsouhlasil by mi někdo tyto úpravy? Děkuji

Matematické Fórum

#1 21. 03. 2018 08:48

Derivace s kovariantními a kontravariantní indexy

#2 21. 03. 2018 14:27

Re: Derivace s kovariantními a kontravariantní indexy

#3 21. 03. 2018 22:23

Re: Derivace s kovariantními a kontravariantní indexy

#4 21. 03. 2018 22:41

Re: Derivace s kovariantními a kontravariantní indexy

#5 22. 03. 2018 08:51 — Editoval Roscelinius (22. 03. 2018 11:24)

Re: Derivace s kovariantními a kontravariantní indexy

#6 24. 03. 2018 11:35

Re: Derivace s kovariantními a kontravariantní indexy

Zápatí