Matematické Fórum

evik · 19. 05. 2009 14:24

Ahojte, potřebovala bych připomenou, jak se řeší polynomické rovnice v oboru komlexních čísel.

$x^3=8 \nl$
$x^4=16$

Asi to bude pro vás primitivní, ale já jsem se na tom zasekla při počítání lineárních diferenciálních rovnic s kons.koef. Já bych řekla, že řešení je u první rovnice x=2 a u druhé taky x=2. Ve výsledních pro ty ODR to ale vychází i na nějaký komlexní kořen. Prosím připomeňte mi někdo, jak k němu dojdu.
Díkes

Pavel · 19. 05. 2009 15:15

↑ evik:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Binomick%C3%A1_rovnice

Rumburak

Řešíme v komplexním oboru binomickou rovnici $x^n = a$ , kde $a\ne 0, \,\,n \in \{1,2, ...\}$ :
Vyjádříme v goniometrickém tvaru $a =|a|(cos\,\alpha\, + \,\text i \sin\,\alpha)$ , $x =r(cos\,\xi\, + \,\text i \sin\,\xi)$
(oba argumenty $\alpha, \,\xi$ předpokládáme v intervalu $[0, \, 2\pi)$ ). Zbývá tedy určit $r, \,\,\xi$ .
Podle Moivreovy věty obdržíme $x^n =r^n(cos\,n\xi\, + \,\text{i} \,\sin \,n\xi)$ , původní rovnice pak přejde do tvaru
$r^n(cos\,n\xi\, + \,\text{i} \,\sin \,n\xi)=|a|(cos\,\alpha\, + \,\text i \sin\,\alpha)$ ,
z něhož porovnáním jednak modulů, jednak reálných resp. imginárních částí levé a pravé strany vychází
$r = \sqrt[n]{|a|}, \,\,\, \xi_k = \frac {\alpha + 2k\pi}{n}, \,\, k\in \{0,1, ..., n-1\}$ , což dává celkem n navzájem různých komplexních kořenů původní rovnice.
V tomto postupu je zahrnut i případ, kdy číslo $a$ je reálné.

evik · 19. 05. 2009 16:02

A mohl bys mi to prosím ukázat ještě konkrétně - na mojem příkladě?

Rumburak · 19. 05. 2009 16:17

V prvním příkladě je $8 =8(cos\,0 + \,\text i \sin\,0)$ a pak už jen dosazuješ do vzorců.

gladiator01

Nešlo by to řešit také takhle?
$x^4-16=0 \nl (x^2-4)(x^2+4)=0 \nl (x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)=0$
řešením je $x1=2, x2=-2, x3=-2i, x4=2i$

evik · 19. 05. 2009 22:32

Jeee :) moooc děkuju, krásně jsi mi to vysvětlil :D

gladiator01 · 19. 05. 2009 22:56

výsledky by měli být dobře, ale byl to spíš dotaz jestli by to šlo takhle řešit, ale proč ne :)

Rumburak · 20. 05. 2009 13:26

↑ gladiator01:
Ano, to je samozřejmě správně. Pokud umím mnohočlen rozložit na součin dvojčlenů prvého stupně,
potom k hledání jeho kořenů žádnou další teorii nepotřebuji.

musixx · 20. 05. 2009 13:31 — Editoval musixx (20. 05. 2009 13:34)

↑ Rumburak: Raději než o mnohočlenu se bavme o polynomu jedné proměnné. Z (x-1)(y-3)(x+5y) asi těžko nějaké kořeny vyloudíme, byť jde o rozklad mnohočlenu na součin dvojčlenů prvého stupně (abych použil tvou terminologii).

EDIT: Tahle poznamka samozrejme neni pro evika, ktera ma problem se zaklady. Je pro ty, kteri jsou vice v obraze.

Rumburak

↑ musixx:
Z (x-1)(y-3)(x+5y) = 0 bych já osobně vyloudil přinejmenším x = 1 V y = 3 V x + 5y = 0, i když si nejsem jist, co je považováno za kořen polynomů
více proměnných, jimiž jsem nikdy neměl příležitost se zabývat.
Nicméně proti Tvé připomínce upřesnit "mnohočlen" na "polynom jedné proměnné" (mnohý rigorosní algebraik by řekl "... v jedné neurčité")
samozřejmě nic nenamítám.
Místo termínu "dvojčlen prvého stupně" bych také uměl použít "polynom (o jedné proměnné / neurčité) irreducibilní v tělese komplexních čísel",
ale obávám se, že taková formulace by byla mnohým nepřístupná.
A konečně - můj předchozí příspěvek byl míněn jako sdělení v metajazyce.

musixx · 20. 05. 2009 14:36

↑ Rumburak: Já jsem tě nechtěl opravovat a je jasné, že pro evika byla tvá poznámka užitečná. O okruzích polynomů toho vím poměrně hodně, a proto se s tebou rozhodně nebudu předhánět v tom, kdo použije krkolomější terminologii.

Rumburak · 20. 05. 2009 16:36

↑ musixx:
Ani já necítím potřebu nějakého předhánění se a o Tvých znalostech, které naznačuješ, nemám příčinu pochybovat. Chtěl jsem jen dát najevo příkladem,
že pokud jsem snad v onom příspěvku, který rozproudil tuto diskusi, použil některý pojem, který by odborník-specialista použil ve své universitní přednášce
spíše výjimečně nežli běžně (ale netroufl bych si tvrdit, že nikdy), jako například "mnohočlen" nebo "dvojčlen prvního stupně", které se Ti zjevně příliš nelíbily,
pak jsem si byl této okolnosti od počátku vědom - uchýlil jsem se k takovýmto volnějším pojmům v pevné víře, že sdělení bude i tak srozumitelné z kontextu
předchozích příspěvků tohoto vlákna.

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2009 14:24

Rovnice v komlexním oboru

#2 19. 05. 2009 15:15

Re: Rovnice v komlexním oboru

#3 19. 05. 2009 15:16 — Editoval Rumburak (19. 05. 2009 15:22)

Re: Rovnice v komlexním oboru

#4 19. 05. 2009 16:02

Re: Rovnice v komlexním oboru

#5 19. 05. 2009 16:17

Re: Rovnice v komlexním oboru

#6 19. 05. 2009 17:01 — Editoval gladiator01 (19. 05. 2009 18:01)

Re: Rovnice v komlexním oboru

#7 19. 05. 2009 22:32

Re: Rovnice v komlexním oboru

#8 19. 05. 2009 22:56

Re: Rovnice v komlexním oboru

#9 20. 05. 2009 13:26

Re: Rovnice v komlexním oboru

#10 20. 05. 2009 13:31 — Editoval musixx (20. 05. 2009 13:34)

Re: Rovnice v komlexním oboru

#11 20. 05. 2009 13:57 — Editoval Rumburak (20. 05. 2009 14:17)

Re: Rovnice v komlexním oboru

#12 20. 05. 2009 14:36

Re: Rovnice v komlexním oboru

#13 20. 05. 2009 16:36

Re: Rovnice v komlexním oboru

Zápatí