Matematické Fórum

Můžu se zeptat na dosazení které ti nevyšlo?

3^3 = 27 - 3 = 24, 24 je dělitelné 6.

↑ Peter_CSR:
Něco jsem špatně přečetl?

↑ Peter_CSR:
2^3 = 8 ; -2 = 6 dělí 6...


...prostě, řekl bych že to platí, můžu dokázat řekl bych

↑ dzejkob:

↑ gadgetka: to napsala jiz vyse, jak to dokazat.

↑ dzejkob:

Obecně tyto příklady (kdyby tam bylo něco hůře rozložitelného nebo to nebylo šestkou apod.) můžeš řešit přes modulární aritmetiku:

Po dělení 6 můžeš dostat zbytky 0,1,2,3,4,5. Každé přirozené číslo má nějaký z těchto  zbytků po dělení 6 a tak se rozdělí do šesti zbytkových tříd. No a ať si z jedné té třídy čísel se stejným zbytkem vybereš jakéhokoli zástupce, kterého dosadíš do toho výrazu, tak výsledek bude mít po dělení šesti vždy taky stejný zbytek. Takže prostě stačí dosadit za to n čísla od 0 do 5 a sledovat, zda ti pokaždé vyjde číslo dělitelné šesti.

No a pokud by vycházela moc velká čísla, tak si zase stačí hlídat jen zbytky. Ale tady to ani moc velké nevychází.

Ahoj ↑ Peter_CSR:,
Ak ani posledna metoda nie je ti jasna.  Mozes skusit matematicku indukciu ( no ak ste sa to uz ucili)

↑ Peter_CSR:

Ano.

Obecně pokud zkoumáš dělitelnost nějakým číslem, třeba n, tak přirozená čísla a,b mohou mít zbytek po dělení n od 0 do (n-1). Přitom kdybych nevydělil "úplně" a  byl zbytek vyšší než n, tak od něho budu odečítat to n tak dlouho, dokud se nedostanu pod n.

Příklad: n=7, a=33, pak 33:7=4 zbytek 5, kdybych ale neodhadl dobře, že ta sedmička se tam vejde čtyřikrát, ale myslel bych si, že jen třikrát, tak dostanu 33:7=3 zbytek 12, no ale zbytek nemůže být větší než dělitel, takže od 12 odečtu jednou 7 a získám zase 5.

Takže ve smyslu dělení sedmi se mi rozdělí přirozená čísla na 7 tříd, v první třídě budou ta čísla se zbytkem 0, tedy 0,7,14,21,..., no a v páté třídě budou třeba ta se zbytkem 4, tedy 4,11,18,25,...


A platí, že sčítat, odčítat a násobit zbytky můžeš stejně jako samotná čísla. Pokud ti vyjde součet, rozdíl nebo součin zbytků větší než limit, tedy n-1, tak zase uděláš jen zbytek z toho součinu a vyjde ti to.

Příklad: Nechť a=31,b=22. Pak

31 ≡ 3 mod 7 (tak se zapíše, že 31 dává zbytek 3 po dělení 7, čte se to 31 je kongruentní s 3 modulo 7)
22 ≡ 1 mod 7

a když to sečtu

53 ≡ 4 mod 7. Tady je 4 rovnou ten zbytek.

Nebo by mohlo být

20 ≡ 6 mod 7
26 ≡ 5 mod 7

a sečtu

46 ≡ 11 mod 7, ale protože 11 je víc než 7, tak můžu brát jen zbytek 11 po dělení 7, což je 4. Tedy
46 ≡ 4 mod 7.

No a teď násobení: Protože

31 ≡ 3 mod 7
22 ≡ 1 mod 7

tak bez počítání platí

31.22 ≡ 3.1 mod 7, tedy 682 ≡ 3 mod 7, a podobně

20 ≡ 6 mod 7
26 ≡ 5 mod 7
20.26 ≡ 6.5 mod 7
520 ≡ 30 mod 7  ... a zase stačí vzít zbytek 30 po dělení 7
520 ≡ 2 mod 7

Takže jsem nemusel počítat zbytek po dělení 520, ale jen po dělení 30, což je o dost lehčí.

No a umocňování je jen opakované násobení.

Takže:

26 ≡ 5 mod 7 ... z toho plyne taky to, že

26^4 ≡ 5^4 mod 7

5^4=625, tam je po dělení 7 zbytek 2 (630-7+2) a hned máš

26^4 ≡ 2 mod 7

Ale jde to i jednodušeji - protože zbytek 5 je jako zbytek -2 (můžu si sedmičku odečíst i do mínusu), lze i psát

26 ≡ -2 mod 7
26^4 ≡ (-2)^4 mod 7
26^4 ≡ 16 mod 7  ... no a to, že zbytek u 16 je 2, vidíme ještě lépe.

No a pokud bys měl zadání, kde by se tě ptali, zda n^7-36n je vždy dělitelné sedmi, tak si uvědomíš, že ať tam dosadíš cokoli za n, tak zbytek po dělení 7 bude zas jen 0,1,2,3,4,5 nebo 6. A stačí počítat se zbytky a obsáhnu tím všechna čísla, která mají tyto zbytky.

Takže za n dosadím jen 0-6 a budu čekat, zda výsledky budou dělitelné sedmi.

0^7-36.0=0
1^7-36.1=-35
2^7-36.2=56
3^7-36.3=2079
4^7-36.4=16240
5^7-36.5=77945
6^7-36.6=279720

Všechny výsledky jsou dělitelné 7, tedy dokázali jsme, že výraz n^7-36n bude pro všechna n dělitelný sedmi.

Šlo by to ale i lépe. Místo zbytků 4,5,6 si můžeš vzít i posunuté zbytky -3,-2,-1 tak, aby ti vycházela menší čísla a šlo to tedy i z hlavy.

Nebo třeba místo výrazu n^7-36n můžeš vyšetřovat jen výraz n^7-n, protože přičtením 35n přičítáš určitě číslo dělitelné sedmi, tedy se zbytkem 0, což výsledek nezmění. Navíc teď by to bylo vidět i z Malé Fermatovy věty, ale to je zas jiná písnička.

V případě dalších dotazů jsem připraven pokračovat.