Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Střední škola
- » Jednoduchý kombinatorický příklad: body urcujici kruznici (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 19. 05. 2009 15:15
Jednoduchý kombinatorický příklad: body urcujici kruznici
Zdravim vsechny.
Stale delam asi nejakou hloupou chybu u tohoto prikladu z Petakove: s. 146, pr. 53 a, b:
Kolik kruznic urcuje deset ruznych bodu v rovine, z nichz:
a) zadne tri nelezi v primce, [120]
b) prave sest lezi v primce? [100]
a) Ja porad pocitam s tim, ze mi k urceni kruznice staci dva body (stred a bod z oblouku), tudiz hledam ruzne dvojice bodu -> K(2,10)*2=90 (dvakrat, protoze je mohu v ramci dvojice vzdy prohodit). Vic me nenapada.
b) nevim, co zmeni skutecnost, ze jsou na primce. Pokud by totiz nebyly stejne daleko, pocet kruznic podle me neubyde.
Diky za pomoc, i kdyz jde urcite o hloupost.
Kuba
Radost z uvažování a z chápání je nejkrásnějším darem Přírody.
Albert Einstein
Offline
#2 19. 05. 2009 15:21
- marnes
- Příspěvky: 11227
Re: Jednoduchý kombinatorický příklad: body urcujici kruznici
↑ Jacob02:
1) kružnice je dána 3 body, které neleží v jedné přímce, takže to bude C(3;10)=10!/(3!.7!)=120
2) jestliže 6 bodů leží na přímce, pak jakákoliv trojice těchto bodů nemůže být kružnice, proto od mžností za 1) odečteme C(3;6)=20, takže výsledek je 100
Jo. A na začátku vás zdravím.
Offline
#3 19. 05. 2009 16:06 — Editoval Rumburak (19. 05. 2009 16:42)
Re: Jednoduchý kombinatorický příklad: body urcujici kruznici
Poznámka. Jde o to, co rozumíme souslovím "body určují kružnici".
Jedna z možností je, jak to pochopil ↑ Jacob02: , ale častěji se tím míní situace, kdy kružnice je určena tím, že danými body prochází.
V tom druhém smyslu tři body A,B,C, které neleží na společné přímce, lze interpretovat jako vrcholy trojúhelníka, kružnici opsanou trojúhelníku ABC
pak považujeme za kružnici určenou trojicí bodů A,B,C.
Striktně vzato, podmínka o tom, kolik z počtu daných bodů leží na nějaké společné přímce, k odpovědi na otázku po počtu kružnic určených
danými body nestačí. Mohlo by se stát, že za těch 10 bodů v úloze vezmeme 10 vrcholů pravidelného 10-ti úhelníka (tedy je splněna podmínka (a)),
avšak těmito 10-ti body je určena pouze jedna kružnice, a sice kružnice opsaná tomuto 10-ti úhelníku.
Dnes nějak často narážím na nekorektně zadané a při tom zřejmě učebnicové úlohy - toto je již druhá .
Offline
#4 19. 05. 2009 16:25
- marnes
- Příspěvky: 11227
Re: Jednoduchý kombinatorický příklad: body urcujici kruznici
↑ Rumburak:Děkuji za doplnění. Poučení i pro mě. Takto do hloubky jsem na tom nepřemýšlel. Spíš bych řekl, že jsem úlohu řešil pro zadání ne kolik kružnic, ale kolik trojúhelníků by vzniklo za daných podmínek. Pokud se mýlím, oprav mě.
Jo. A na začátku vás zdravím.
Offline
#5 19. 05. 2009 16:43
Re: Jednoduchý kombinatorický příklad: body urcujici kruznici
↑ marnes:
Nenapadá mne, co bych dále opravoval. Ta moje předchozí poznámka nebyla adresována anitak Tobě,
řešils úlohu přesně tak, jak její autoři očekávali, a vzpomínám si, že i já jsem ji takto kdysi řešil.
Offline
#6 19. 05. 2009 17:30
- marnes
- Příspěvky: 11227
Re: Jednoduchý kombinatorický příklad: body urcujici kruznici
↑ Rumburak:Ne, mě šlo o to, kdyby otázka byla formulována na trojúhelníky, tak by se ta diskuze provádět nemusela? To je pro mě, abych v tom měl jasno. jinak děkuji.
Jo. A na začátku vás zdravím.
Offline
#8 20. 05. 2009 13:16 — Editoval Rumburak (20. 05. 2009 13:17)
Re: Jednoduchý kombinatorický příklad: body urcujici kruznici
↑ marnes:
Jestliže z n (navzájem různých) bodů žádné 3 neleží v přímce, potom každé 3 (navzájem různé) body určují trojúhelník,
a pak počet takových trojúhelníků je (n nad 3).
Jestliže právě k > 2 z těchto n bodů leží v jedné přímce (p) a neexistuje-li žádná další přímka, na níž by ležely více než 2 body
z uvažované n-bodové množiny, pak počet všech trojúhelníků je, domnívám se, (n-k nad 3) + (n-k)*(k nad 2) + k*(n-k nad 2).
První ze sčítanců je jasný - počet trojúh., u nichž žádný vrchol neleží na p,
druhý počítá trojúh, u nichž právě 2 vrcholy leží na p,
třetí počítá trojúh, u nichž právě 1 vrchol leží na p.
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Střední škola
- » Jednoduchý kombinatorický příklad: body urcujici kruznici (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)