Matematické Fórum

Dáda78 · 01. 04. 2018 21:31

Ahoj,

mohu poprosit o pomoc? Potřebuji zderivovat tuto funkci a dokázat, že limita v bodě -1 je nekonečno.

f: y = $|\frac{x-1}{x+1}|$

Ta derivace mě napadá leda přes intervaly, tedy (-∞;-1), (-1;1) a (1;∞). Ovšem jak pak dokázat monotónnost v jiných intervalech a dokázat, že existují/neexistují body, kde derivace neexistuje, to už netuším.

Díky moc!

laszky · 01. 04. 2018 21:51

Ahoj, pokud by ti to pomohlo, pak $\bigr(|f(x)|\bigr)' = \mathrm{sgn}\bigr(f(x)\bigr)\cdot f'(x)$ vsude mimo body, kde $f(x)=0$ .

Dáda78 · 01. 04. 2018 21:58

↑ laszky:

Haha, díky moc za snahu, každopádně tenhle postup jsem si našel na tomto fóru ještě předtím, než jsem toto téma založil, ale absolutně nevím, jak s tím pracovat - pochopil jsem jen, že signum přiřazuje patřičné znaménko, ale jak s tím pracovat při derivaci a následném hledání například druhé derivace, podezřelých bodů z extrémů atd., to je zatím nad moje středoškolské znalosti :(

Ale děkuji za snahu, jdu o tom něco hledat, alespoň překvapit učitele :)

vlado_bb · 01. 04. 2018 22:02

↑ Dáda78: Dobre, zacnime teda od uplne jednoduchych veci. Aka je prva derivacia funkcie $f(x)=|x|$ ?

laszky · 01. 04. 2018 22:06

↑ Dáda78:

Derivace $\mathrm{sgn}\,x$ je nula vsude mimo $x=0$ , kde derivace neexistuje. A pokud ti vadi signum, pak ho staci zapsat jako $\mathrm{sgn}\, x = \frac{x}{|x|}$ (opet plati vsude mimo x=0).

Dáda78 · 01. 04. 2018 22:19

↑ vlado_bb:

Dle tužkou dopsané poznámky v tabulkách $\frac{x}{|x|}$ , důkaz podle internetu přes tzv. chain rule. Trošku jsem si ho prošel, každopádně v angličtině, tak snad jsem to jakžtakž pochopil.

Dáda78 · 01. 04. 2018 22:23

↑ laszky:

takže ta hledaná první derivace je $sgn(\frac{x-1}{x+1})*\frac{2}{(x+1)^{2}}$ ?

vlado_bb · 01. 04. 2018 22:25

↑ Dáda78: Pokial ma ist o odpoved na moju otazku, nepotrebujes nijaky dokaz, nijake chain rule, nijaky internet. Staci pochopit co je to derivacia. Bez toho ziadne dalsie aktivity v tomto smere nemaju zmysel.

Dáda78 · 01. 04. 2018 22:31

↑ vlado_bb:

promiň, já už si poslední dobou najel na takový pravidlo, že si vše v matematice snažím dokazovat :-)
tak základní derivace si myslím, že ovládám, akorát jsem se ztratil, když jsem narazil na příklad s absolutní hodnotou, to jsem si dokázal vyřešit jen přes ty intervaly, ale očekávám nějaký celistvější výsledek :-)

vlado_bb

↑ Dáda78: Takze aka je derivacia funkcie $f(x)=|x|$ ?

Peter_CSR · 01. 04. 2018 22:39

ak smiem poradiť tiež, odpoveď na vladovu otázku je strašne jednoduchá, zamysli sa len čo presne derivácia znamená, aké sú podnienky jej existencie a máš to. Úplne rovnaký postup uplatníš aj na svojom príklade.

Dáda78 · 01. 04. 2018 22:48

↑ Peter_CSR:

tak derivace je směrnice tečny dané funkce a její podmínkou je spojitost této funkce?

laszky · 01. 04. 2018 22:50

↑ Dáda78:

$|x|$ je spojita funkce, presto nema v 0 derivaci ;-)

Peter_CSR · 01. 04. 2018 22:50

↑ Dáda78: skoro správne, ale tie podmienky sú tam dve. Spomeň si na ňu a potom vyrieš vladov príklad. Uvažuj, ako by sa derivácia graficky chovala, ako by si na tú funkciu prikladala dotyčnicu.

Peter_CSR · 01. 04. 2018 22:52

Dáda78 napsal(a):
↑ Peter_CSR:

tak derivace je směrnice tečny dané funkce a její podmínkou je spojitost této funkce?

alebo zober definíciu derivácia vyjadrenú prostredníctvom limity funkcie a vypočítaj ju tak pre každý bod. Algebraicky náročnejšie ale ekvivalentné.

Dáda78 · 01. 04. 2018 22:55

↑ laszky:

tak protože tam mám jakoby ten hrot, na tom tečnu (to je dotyčnica Peter? :-D) neudělám, jelikož derivace zleva se nerovná derivaci zprava (-1 a 1)

Peter_CSR · 01. 04. 2018 23:00

presne ako píšeš. a ako lazsky naznačil, je tu ešte podmienka nejak súvisiaca so spojitosťou.

tečna je dotyčnica :)

keď si to vieš graficky predstaviť, skús sa rovnakým štýlom zamyslieť čo symbolizuje tvoja úloha...

laszky · 01. 04. 2018 23:02

↑ Dáda78:

Ja jen, zes rikal, ze podminkou je spojitost funkce... takze spojitost je trochu malo :-) Dokonce jsou i funkce, ktere jsou spojite, ale nemaji derivaci v zadnem bode ;-)

Dáda78 · 01. 04. 2018 23:08

Pánové, zatím díky, zamyslím se nad tím v posteli, hlava mi nějak vypíná, ráno vám napíšu, co jsem vymyslel nebo o čem se mi zdálo :-)

Peter_CSR · 01. 04. 2018 23:11

laszky napsal(a):
↑ Dáda78:

Ja jen, zes rikal, ze podminkou je spojitost funkce... takze spojitost je trochu malo :-) Dokonce jsou i funkce, ktere jsou spojite, ale nemaji derivaci v zadnem bode ;-)

ktorá funkcia je spojitá ale nemá deriváciu v žiadnom bode?

laszky · 01. 04. 2018 23:17

↑ Peter_CSR:

Napriklad Weierstrassova funkce.

Peter_CSR · 01. 04. 2018 23:33

laszky napsal(a):
↑ Peter_CSR:

Napriklad Weierstrassova funkce.

fíha!

toto je troška OT, ale neporadil by si mi ako postupovať, keď chcem nájsť funkciu ktorá je definovaná na celom R ale spojitá práve v jedinom bode? Viem že by som chcel nejak upravovať Dirichletovu fumkciu, napríklad, ale nie som si istý celkom ako... nehľadám odpoveď, iba poštuchnutie!

Inak, ak by ťa bavila kombinátorika, postol som 2 otázky a nejak v nich tápam... :)

laszky · 01. 04. 2018 23:46

↑ Peter_CSR:

Staci kdyz tu Dirichletovu funkci D(x) prenasobis iksem... vysledek je spojity v nule ;-) ...promin, moc na tu kombinatoriku nemam naladu :D

Peter_CSR · 01. 04. 2018 23:53

no, tak si mi to prezdradil, tešil som sa že na vec prídem sám, ale dík :)

laszky · 01. 04. 2018 23:56

↑ Peter_CSR:

Aha prepac... myslel jsem, ze sis do me stouchl (postuchnutie) a tys to myslel jinak :D Ale tak stale si muzes tu spojitost v nule zkusit dokazat ;-)

Matematické Fórum

#1 01. 04. 2018 21:31

Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#2 01. 04. 2018 21:51

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#3 01. 04. 2018 21:58

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#4 01. 04. 2018 22:02

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#5 01. 04. 2018 22:06

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#6 01. 04. 2018 22:19

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#7 01. 04. 2018 22:23

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#8 01. 04. 2018 22:25

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#9 01. 04. 2018 22:31

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#10 01. 04. 2018 22:34 — Editoval vlado_bb (01. 04. 2018 22:35)

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#11 01. 04. 2018 22:39

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#12 01. 04. 2018 22:48

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#13 01. 04. 2018 22:50

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#14 01. 04. 2018 22:50

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#15 01. 04. 2018 22:52

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

Dáda78 napsal(a):

#16 01. 04. 2018 22:55

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#17 01. 04. 2018 23:00

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#18 01. 04. 2018 23:02

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#19 01. 04. 2018 23:08

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#20 01. 04. 2018 23:11

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

laszky napsal(a):

#21 01. 04. 2018 23:17

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#22 01. 04. 2018 23:33

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

laszky napsal(a):

#23 01. 04. 2018 23:46

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#24 01. 04. 2018 23:53

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

#25 01. 04. 2018 23:56

Re: Derivace a limita funkce s absolutní hodnotou

Zápatí