Matematické Fórum

TylerDurden · 29. 03. 2018 10:01

Dobry den,
Potřeboval bych poradit jak rozhodnout zda jsou množiny U a V vektorové podprostory vektorového prostoru $\mathbb{R}^{3}$
$U = \{[x,y,z] \in \mathbb{R}^{3}: x=y\}$
$V = \{[x,y,z] \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} + z^{2} \le 3\}$

Zrovna jsem chyběl když se to probíralo , budu rád za jakoukoliv pomoc.... z učebnic a internetu jsem toho moc nepochytil...

vlado_bb · 29. 03. 2018 10:11

↑ TylerDurden: Niekde ale zacat musime ... tak napis co rozumies pod slovami vektorovy podpriestor ...

TylerDurden · 29. 03. 2018 10:36

↑ vlado_bb:
Chapu to jako podmnozinu puvodniho vektoru u tohoto prikladu musí být podprostor v množině $\mathbb{R}^{3}$ a musí platit $U+V \in \mathbb{R}^{3}$ , $a*V \in \mathbb{R}^{3}$ a $a*U \in \mathbb{R}^{3}$ , kde a je realné číslo

vlado_bb

↑ TylerDurden: Pozor, zda sa, ze tomu nerozumies spravne, alebo sa teda aspon spravne nevyjadrujes. Skus doplnit: $W$ je vektorovy podpriestor $\mathbb{R}^{3}$ , ak ... (s vysvetlenim vsetkych pouzitych symbolov).

MichalAld · 29. 03. 2018 12:36

Jinak řečeno, vše, co platí pro prostor, musí platit i pro podprstor (jen má ten podprostor zpravidla nižší dimenzi)

Rumburak

↑ MichalAld:
Ahoj.

Máš sice pravdu, ale je to vyjádřeno příliš vágně, než aby na tom bylo možno
případně postavit nějaký matematický důkaz. Trochu Ti pomohu:

Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T (nejčastěji bývá T těleso reálných čísel)
a W podmnožina ve V. K tomu, aby množina W byla ve V též podprostorem, je zapotřebí,
aby měla tři následující vlastnosti:

1. ...
2. ...
3. ...

Zlus je doplnit v přesném znění, jak radil kolega ↑ vlado_bb:.

MichalAld

↑ Rumburak:
No já nevím, ale můžu to zkusit (ale v řeči matematických symbolů to asi z hlavy zapsat nedokážu ):

1. Pro každé dva vektory z množiny W musí být jejich součet také prvkem W

2. Pro každý vektor X z množiny W musí být součin a*X (a je číslo z toho tělesa T) také prvkem W

3. to nevím ... W musí obsahovat nulový vektor ? Nebo pro každý vektor z W musí existovat i opačný vektor, který je prvkem W? Nebo něco jiného ?

U vektorových prostorů typu $R^n$ mi přijde celkem zřejmé, že podprostory jsou jen množiny typu $R^m, m<n$ ,
takže podprostorem 3D prostoru je rovina, přímka (nebo bod), zatímco koule či část prostoru ohraničená nějakým směrovým úhlem podprostorem není.

Co je ale podprostor třeba nějakého Hilbertova prostoru, to si teda odhadnout netroufám.

Stejně tak si nejsem jistý, jak je to u Minkowského prostoru (časoprostoru) - zadali ta času-podobná část je podprostorem, nebo není.

Aspro1 · 29. 03. 2018 16:10 — Editoval Aspro1 (29. 03. 2018 16:38)

Musíme u těchto množin ověřit, zda jsou v nich splněné všechny axiomy vektorového prostoru a zda jsou operace získání opačného vektoru, násobení vektoru číslem a sčítání vektorů uzavřené vůči dané množině. Axiomy týkající se komutativity, asociativity a distributivity operací a násobení vektoru jedničkou nebudou působit problém, ale je třeba se zamyslet nad přítomností nulového vektoru v množině a nad tím, zda pro každé číslo $\alpha$ a pro každé vektory $u$ , $v$ ze zkoumané množiny platí uzavřenost operací opačného vektoru, násobení vektoru číslem a součtu vektorů vůči této množině, čili $-u$ , $\alpha u$ a $u + v$ musí být vždy také prvky množiny.