Matematické Fórum

As3t0ur3k · 03. 04. 2018 12:29

Ahojte, viete mi niekto odporucit nejaky web kde by som nasiel dokaz, ze je mozne skontruovat pravidelny 5-uholnik? vopred dakujem

vlado_bb · 03. 04. 2018 12:48

↑ As3t0ur3k: Napriklad tu: https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/pentagon.shtml

Honzc · 03. 04. 2018 13:16 — Editoval Honzc (03. 04. 2018 13:17)

↑ As3t0ur3k:
Česky třeba Zde

As3t0ur3k

Aha lebo ja to mam takto:
Dôkaz, že je možné zostrojiť pravidelný 5-uholník:
$\alpha =\frac{2\pi}{5}$
$z^5=1$
$z^5-1=0$
jeden koren bude $1$ , vydelením rovnice vyrazom $z-1$ dostavam reciproku rovnicu
$z^4+z^3+z^2+z+1=0$
predelim ju vyrazom $\frac{1}{z^2}$
dostavam
$z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0$
vyuzijem substitucie $z+\frac{1}{z}=y$ a $z^2 + \frac{1}{z^2}=y^2-2$ a vypocitam $y_{1,2}$
dostavam rovnicu
$y^2+y-1=0$
$y=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
teraz vyuzijem movierovu vetu:
$z= cos \frac{2\pi}{5} + i sin \frac{2\pi}{5}$
$z+\frac{1}{z}= \frac{cos \frac{2\pi}{5} - i sin \frac{2\pi}{5}}{cos \frac{2\pi}{5} - (i sin \frac{2\pi}{5})^2 }=\frac{cos \frac{2\pi}{5} - i sin \frac{2\pi}{5}}{cos \frac{2\pi}{5} + sin \frac{2\pi}{5}}=cos \frac{2\pi}{5} - i sin \frac{2\pi}{5}=2 cos \frac{2\pi}{5}$

teraz to dame dokopy a dostavame
$z+\frac{1}{z}=y$
$2 cos \frac{2\pi}{5}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{4}$
teda je mozne zostrojit pravitkom a kruzidkom pravidelny 5-uholnik. Mam to dobre?