Matematické Fórum

simona82 · 22. 03. 2018 17:17

Dobrý den, potřebovala bych poradit s těmito dvěmi úlohami.

1. Jak vysoko by sahala atmosféra Země, kdyby nebyl vzduch stlačitelný a měl všude stejnou hustotu jako u mořské hladiny.

2. Meteorologická sonda má hmotnost 1,32 kg a objem 9,2 m krychlových.

a) Jak velkou vztlakovou silou silou působí na sondu vzduch?
b) Jak velkou gravitační silou působí na sondu Země?
c) Urči velikost výsledné síly a rozhodni, zda se sonda vznese.
d) Urči, čím je sonda naplněna.

Rumburak · 23. 03. 2018 15:35

↑ simona82:

Ad 1.

Potřebovali bychom vědět, jak souvisí skutečná hustota vzduchu s nadmořskou výškou.
Potom bude možno příslušným trojným integrálem spočítat celkovou hmotnost M
veškerého vzduchu v atmosféře.
Z hodnoty M a z hustoty reálnáho vzduchu při mořské hladině pak spočteme odpovídající
objem V hypotetické kulové vrstvy. Jejím menším poloměrem je zemský poloměr,
jehož hodnotu známe, zbývá vypočítat ten větší z obou poloměrů.

MichalAld · 23. 03. 2018 15:49

↑ Rumburak:

Ad 1.

Předpokládám, že je to příklad z prvních ročníků středních škol - a tedy že se předpokládá, že bude tlak vzduchu na hladině moře stejný jako je teď, né že bude celkový objem vzduchu stejný jako teď.

pietro · 23. 03. 2018 16:11

↑ simona82:Ahoj, ku bodu 1. návod:

1.1 Zistíme si koľko vzduchu v kg máme "nad hlavou" na 1 m2 plochy Zeme. Vieme že na nás tlačí 101325 Pascalov. p=F/S, F=m*g
1.2 Keď vieme na 1 m2, vieme aj na celý povrch Zeme (Rz=6378km) . Okontrolujeme na webe, určite tam bude niečo ako ==>mass air earth
1.3 Zistíme hustotu vzduchu pri hladine mora .
1.4 Z hmotnosti vzduchu a hustoty vzduchu vyrátame objem vzduchu.
1.5 Tým objemom obalíme Zem do rovnakej výšky. Objem gule (Zeme) bez vzduchu V1=4/3*3.14*r1^3, objem gule so vzduchom V2=4/3*3.14*(r1+h)^3
a náš vypočítaný objem bude V=V2-V1. neznáma je h.

MichalAld · 23. 03. 2018 16:46

Proč všichni předpokládáte že má zůstat stejný objem či hmotnost vzduchu.

Mě přijde celkem přirozené, že má zůstat stejný tlak vzduchu nad hladinou (což je těch cca 100kPa),

a pak prostě vzít $p= \rho h g$ což při hustotě vzduchu cca 1.3kg/m3 a tíhovém zrychlení 10 dává 7700m.

MichalAld · 23. 03. 2018 16:53

Rumburak napsal(a):
↑ simona82:
Potřebovali bychom vědět, jak souvisí skutečná hustota vzduchu s nadmořskou výškou.
Potom bude možno příslušným trojným integrálem spočítat celkovou hmotnost M
veškerého vzduchu v atmosféře.

Na fóru Aldebaran (když ještě existovalo) jsme to kdysi řešili (i když cíl byl trochu jiný) a myslím že výsledek byl, že integrál diverguje.

Fyzikálně tedy nemůže nastat ustálený stav - a nějaká malá část vzduchu trvale opouští planetu a uniká do vesmíru.
Dává to smysl i z pohledu kinetické teorie plynu - tu a tam se stane, že nějaká molekula získá únikovou rychlost a odletí do vesmíru.

Né že by to bránilo praktickému výpočtu, ale je to do jisté míry zajímavé (že planety si nedokáží udržet atmosféru natrvalo - a třeba se říká, že Mars mě dříve také atmosféru, ale už o ní přišel - díky své malé hmotnosti).

Rumburak

↑ MichalAld:

Ahoj.

Hmotnost vzduchu být zachována musí, protože žádný nezmizí ani nepřibude
(v opačním případě by o tom musela být v zadání patřičná zmínka).

Domnívám se že nejde o reálnou úlohu z reálného vesmíru, ale o úlohu umělou,
jejímž cílem je procvičit matematické vztahy mezi fyzikálními veličinami a s nimi
související počtářské dovednosti.

Rumburak

↑ MichalAld:

Ahoj. Cituji zadání:

1. Jak vysoko by sahala atmosféra Země, kdyby nebyl vzduch stlačitelný a měl všude stejnou hustotu jako u mořské hladiny.

Že má být hustota vzduchu u mořské hladiny zachována, není nijak zpochybněno.
Ale s rostoucí nadmořskou výškou (tj. se vzdáleností od Země) hustota vzduchu
zřejmě klesá k nule, což není nepochopitelné. Avšak asi ne všichni víme, podle jakých
zákonitostí se tak děje.

Také se zřejmě předpokládá, že celkové množství vzduchu co do hmotnosti se nemění.
Pokud by se mělo měnit, muselo by být také řečeno, podle jakých zákonitostí.

Jak již jsem naznačil dříve, nejde o úlohu z "opravdové" fyziky, ale jen o jakousi
matematickou hříčku, v níž fyzika je pouze inspiračním zdrojem.

edison · 26. 03. 2018 12:46

Rozhodně by ale autoři úloh mohli trochu promýšlet smysluplnost zadání, aby to pak jen nepotvrzovalo dojem významné části dětí, že školní výuka jim prakticky k ničemu není.

Dokonalou ukázkou, jak nedělat zadání je 2d.

MichalAld · 26. 03. 2018 17:15

Rumburak napsal(a):
Také se zřejmě předpokládá, že celkové množství vzduchu co do hmotnosti se nemění.
Pokud by se mělo měnit, muselo by být také řečeno, podle jakých zákonitostí.

No jo, ale stejně "zřejmě" se může předpokládat, že se na celkové množství máme vykašlat, a předpokládat, že má být stejný tlak na hladině moře.

Nepřijde mi ten předpoklad o nic přirozenější než ten tvůj, ale je to každopádně mnohem jednodušší na počítání (viz další příspěvek)

MichalAld

Nevím, jeslti jsou ta následující odvození správně, ale docela mi to tak připadá:

Máme válec o ploše S vedoucí v principu od středu Země (od středu Země měříme výšku) až někam do sousední galaxie...a ve válci je ten vzduch (nebo třeba kapalina), jehož (jejíž) tlak počítáme.

Když si v tom válci vezmeme nějaký elemnet výšky dh, přidá nám síly podle toho, kolik sám váží, tedy:

$- \Delta p S = \Delta m g = \Delta h S \rho g$

tedy po vykrácení plochou válce dostaneme

$- \Delta p = \Delta h \rho g$

$-\frac{dp}{dh}=\rho g$

To minus je tam proto že dp a dh jsou "opačného směru" když roste h, klesá p (prostě proto, aby to vyšlo správně).

Pro nestlačitelnou kapalinu v homogenním gravitančím poli je hustota i g konstantní, takže po integraci dostaneme prostě

$p=p_0- \rho h g$

To je známý vztah pro tlak v kapalině. U plynu, který je stlačitelný dle rovnice ideálního plynu platí

$\rho = ap$

takže
$-\frac{dp}{dh}=agp$
$-\frac{dp}{agp}=dh$
$-\frac{\ln p}{ag}=h + C$
$p = p_0 e^{-agh}$

To je myslím taky správně, v homogenním gravitačním poli by měl tlak vzduchu s výškou klesat exponenciálně.
V takovémto případě můžeme spočítat i celkovou hmotnost plynu, protože by měla být konečná.

Pro gravitační pole kolem Země ovšem platí, že $g=\frac{1}{bh^2}$

Takže pro tlak by mělo platit, že
$-\frac{dp}{dh}=\frac{ap}{bh^2}$
$-\frac{dp}{ap}=\frac{dh}{bh^2}$
$-\frac{\ln p}{a}=-\frac{1}{bh} + C$ (doufám, že jsem to zintegroval správně)
$p=p_0 e^{\frac{a}{b} \frac{1}{h}}$

Je samozřejmě možné, že v posledním výpočtu mám nějakou chybu, ale výsledek celekm dává smysl. Tedy že tlak ani v nekonečné vzdálenosti neklesne úplně na nulu. Potom ale celkový objem či hmotnost musí vyjít nekonečný.

Což by byl dost divný příklad. Nemusíme samozřejmě integrovat až do nekonečna, ale ale nic nám neříká, kde máme přestat. A podle toho můžeme dostat libovolný výsledek. Což je sice technicky v pořádku, ale na příklad do písemky se to teda moc nehodí...

(ale jak říkám, můžu tam mít něco špatně, kdyžtak na to někdo koukněte)

pietro · 28. 03. 2018 17:57

↑ MichalAld: Ahoj, len som si to chcel porovnať s Tvojimi 7700metrami. Zaujímalo ma čo to urobí keď sa to zagulatí. :-)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-03/52596_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

MichalAld · 28. 03. 2018 18:28

Já myslím že nic, tlak přeci závisí jen na výšce, to se dokonce nějak jmenuje, tuším Hydrostatický paradox

proton100 · 04. 04. 2018 18:04

MichalAld napsal(a):
se říká, že Mars mě dříve také atmosféru, ale už o ní přišel - díky své malé hmotnosti).

A čo sa hovorí o jeho magnetickom poli? Tiež zmizlo kvôli malej hmotnosti? :-)

Matematické Fórum

#1 22. 03. 2018 17:17

Atmosferický tlak

#2 23. 03. 2018 15:35

Re: Atmosferický tlak

#3 23. 03. 2018 15:49

Re: Atmosferický tlak

#4 23. 03. 2018 16:11

Re: Atmosferický tlak

#5 23. 03. 2018 16:46

Re: Atmosferický tlak

#6 23. 03. 2018 16:53

Re: Atmosferický tlak

Rumburak napsal(a):

#7 26. 03. 2018 10:58 — Editoval Rumburak (26. 03. 2018 11:04)

Re: Atmosferický tlak

#8 26. 03. 2018 11:34 — Editoval Rumburak (26. 03. 2018 13:17)

Re: Atmosferický tlak

#9 26. 03. 2018 12:46

Re: Atmosferický tlak

#10 26. 03. 2018 17:15

Re: Atmosferický tlak

Rumburak napsal(a):

#11 26. 03. 2018 17:37 — Editoval MichalAld (26. 03. 2018 17:52)

Re: Atmosferický tlak

#12 28. 03. 2018 17:57

Re: Atmosferický tlak

#13 28. 03. 2018 18:28

Re: Atmosferický tlak

#14 04. 04. 2018 18:04

Re: Atmosferický tlak

MichalAld napsal(a):

Zápatí