Matematické Fórum

pe7err · 06. 04. 2018 17:21

Prosim o radu. Zadana je funkcia napriklad f:y=2x a k nej zaroven aj definicny obor D(f) = <-1;3).

$f: y=2x$
$D(f)=<-1;3)$

Potrebujem nacrtnunt graf a urcit obor hodnot H(f), monotonnost a ohranicenost funkcie.

Graf som nacrtol takto: https://imgur.com/a/LLLvh
Vychadzal som z toho, ze podla D(f) najmensie cislo na x moze byt -1 a najvacsie 3. Je to spravne? A ako zaznacit tu trojku, ked do toho intervalu nepatri?

Co sa tyka H(f), ak to mam zistit bez toho grafu, tak mi to vychadza, ze ak najmensie cislo, ktore mozme pouzit ako vstup do funkcie (cize x) je -1, tak najmensie cislo, ktore funkcia moze vratit, je 2*(-1)= -2, a zasa najvacsie vstupne cislo je 3, takze najvacsie vystupne cislo moze byt 2*3=6. Cely obor hodnot mi teda vychadza H(f)=<-2;6). Je to spravne? Da sa ten postup aj nejak zapisat matematicky?

Dalej monotonnost, podla grafu to proste vyzera na rastucu.

A ohranicenost, ak som spravne pochopil, je najmensia a najvacsia hodnota, ktoru moze funkcia vratit, co je vlastne to iste ako H(f). Takze dolne ohranicenie by malo byt -2, ale pri hornom ohraniceni neviem ako je to s tou sestkou, ktora opat nepatri do intervalu.

Dakujem.

vlado_bb

↑ pe7err: Ano, graf je spravne. Ako vyjadrit, ze $3$ uz do definicneho oboru nepatri? Lubovolnym sposobom, z ktoreho je to citatelovi zrejme. Casto sa napriklad v takejto situacii na (v tomto pripade) pravy koniec grafu nakresli male prazdne koliesko, na (v tomto pripade) lavy zasa male plne koliesko.

Pri obore hodnot uvazujes spravne, len si uvedom, ze vo svojej uvahe mlcky predpokladas monotonnost funkcie. Takze asi by bolo vhodne najprv uviest, ze ide o rastucu funkciu a az z toho potom vyplyva, ze minimum ma na lavom konci definicneho oboru, najvacsie hodnoty zasa na pravom. Na strednej skole by to aj takto mohlo stacit, ak do toho chces vidiet viac, pozri si na pojem darbouxovska (pripadne Darbouxova) funkcia.

Ohranicenost - pozri sa, co je to dolne a horne ohranicenie mnoziny. Potom pochopis, ze v nasom pripade jej dolnym ohranicenim je cislo $-2018$ a hornym zasa $10^{2018}$ .

Sposob zapisu - ten tvoj je uplne v poriadku, je z neho vidiet, ze problemu rozumies. Neexistuje matematicky a nematematicky zapis, iba spravny a nespravny. Tvoj je spravny. Rozhodne je mi (ak by som bol v pozicii hodnotitela) ovela sympatickejsi, ako seria rovnosti a nerovnosti bez slovneho komentaru, z ktorej nie je jasne, ci autor rozumie tomu, co robi.

Peter_CSR

Ahoj,

čítam Darbouxovu vetu.

Rozumiem správne, že:

nech f je funkcia spojitá na otvorenom obmedzenom intervale (a,b).

- Ak je funkcia monotónna, môže ale nemusí naberať maximum/minimum na intervale (a,b)
- Ak je funkcia rýdzo monotónna, nemôže naberať max ani min na (a,b)

?

pe7err · 06. 04. 2018 18:14

Dakujem. Akurat som nepochopil, ako si prisiel na tie ohranicenia -2018 a 10^2018.

Vychadzal som z tohto vysvetlenia: http://www.galeje.sk/web_object/9445.pdf

vlado_bb · 06. 04. 2018 18:17

↑ Peter_CSR: To je pravda, az na slovo naberat, ktore mi skor asociuuje pracu s lopatou. V tejto suvislosti sa hovori, ze funkcia nadobuda nejaku hodnotu.

Pod Darbouxovou vlastnostou sa rozumie intermediate value property, teda to, ze ak $f$ v bode $a$ nadobuda hodnotu $f(a)$ a v bode $b$ hodnotu $f(b)$ a ak $y$ je medzi $f(a), f(b)$ , tak medzi $a,b,$ existuje $c$ tak, ze $f( c ) = y$ .

Ak je $f$ na intervale $[a,b]$ spojita, tak tam ma aj Darbouxovu vlastnost. Naopak to ale nie je pravda, Darbouxova vlastnost este nezarucuje spojitost.

vlado_bb · 06. 04. 2018 18:22

↑ pe7err: No, pri studiu by som dal prednost niecomu serioznejsiemu ako su tamtie reci ... Ale ked si pozries tie cervene definicie ohraniceni funkcie, tak musis uznat, ze tie moje dve hodnoty ich splnaju. A ako som na ne prisiel? Vymyslel som si ich, teda na zaklade toho, ze vidim tvoj graf funkcie.

Peter_CSR · 06. 04. 2018 18:57

↑ vlado_bb:

v poradku, ďakujem. Tomu všetkému určite rozumiem.

stretol som sa s touto interpretáciou:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-04/33750_Pet_me_28-12-2011%2B%25E2%2580%2593%2Bk%25C3%25B3pia.jpg

ktorá hovorí o existencií extrémov na kompaktnom intervale. Od toho bola moja otázka pre nie kompaktný interval.

pe7err · 06. 04. 2018 19:08 — Editoval pe7err (06. 04. 2018 19:10)

↑ vlado_bb: tak pozrel som aj ine texty a aj nejake videa, a ak som spravne pochopil, tak vlastne ako dolne ohranicenie si mozem vybrat hociake cislo (nazvyme ho d), ak vsetky mozne funkcne (navratove) hodnoty budu vacsie/rovne d? a to iste plati aj pre horne ohranicenie?

takze by pre tu moju funkciu mohlo byt horne ohranicenie 6, ale kludne aj 7, 10 a vlastne hociake cislo vacsie ako 6? a dolne ohranicenie kludne -2, alebo hociake cislo mensie ako -2 (-5; -10, ...)?

vlado_bb · 06. 04. 2018 19:28

↑ pe7err: Presne tak.

Teda az na nezvykly pojem "navratove" hodnoty. Ide o funkcne hodnoty.

vlado_bb · 06. 04. 2018 19:32

↑ Peter_CSR: Ved to je iba iny zapis toho, co som napisal. A pozor, veta z Wikipedia nehovori o existencii maxima a minima, ona ich existenciu uz PREDPOKLADA. Pri spojitej funkcii na $[a, b]$ je samozrejme takyto predpoklad v poriadku. Veta hovori o tom, ze ak je $f$ na $[a,b]$ spojita, tak je tam darbouxovska (teda ma intermediate value property).

pe7err · 06. 04. 2018 19:49

↑ vlado_bb: super, dakujem pekne. inak na nazov navratova hodnota som si zvykol z programovania :D

Peter_CSR · 06. 04. 2018 19:50

↑ vlado_bb:

aha... v poriadku. Musím pozorne čítať...Bolo pred m, M slovko Nech...

Peter_CSR · 06. 04. 2018 19:52

↑ pe7err:

no vidíš, ja sa učím mat terminológií na malte :)

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2018 17:21

Funkcia so zadanym def. oborom

#2 06. 04. 2018 17:50 — Editoval vlado_bb (06. 04. 2018 17:53)

Re: Funkcia so zadanym def. oborom

#3 06. 04. 2018 18:08 — Editoval Peter_CSR (06. 04. 2018 18:08)

Re: Funkcia so zadanym def. oborom

#4 06. 04. 2018 18:14

Re: Funkcia so zadanym def. oborom

#5 06. 04. 2018 18:17

Re: Funkcia so zadanym def. oborom

#6 06. 04. 2018 18:22

Re: Funkcia so zadanym def. oborom

#7 06. 04. 2018 18:57

Re: Funkcia so zadanym def. oborom

#8 06. 04. 2018 19:08 — Editoval pe7err (06. 04. 2018 19:10)

Re: Funkcia so zadanym def. oborom

#9 06. 04. 2018 19:28

Re: Funkcia so zadanym def. oborom

#10 06. 04. 2018 19:32

Re: Funkcia so zadanym def. oborom

#11 06. 04. 2018 19:49

Re: Funkcia so zadanym def. oborom

#12 06. 04. 2018 19:50

Re: Funkcia so zadanym def. oborom

#13 06. 04. 2018 19:52

Re: Funkcia so zadanym def. oborom

Zápatí