Matematické Fórum

Ahoj, ja bych si ten kvadratickej clen napsal jako

[mathjax] 5x^2+4xy+2y^2 = (x,y)\left(\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}  x \\ y \end{array}\right) [/mathjax]

Pak bych nasel vlastni cisla (vychazeji 1 a 6) a vlastni vektory te matice, a proto jde ta matice napsat jako

[mathjax] \left(\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{array}\right) = \mathbb{P}\cdot \Lambda\cdot\mathbb{P}^T. [/mathjax]

Takze pokud oznacis otocene promenne

[mathjax] \left(\begin{array}{c}  u \\ v \end{array}\right)=\mathbb{P}^T\left(\begin{array}{c}  x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}  x \\ y \end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}  x-2y \\ 2x+y \end{array}\right), [/mathjax]

muzes napsat

[mathjax] 5x^2+4xy+2y^2=  (x,y) \;\; \mathbb{P}\Lambda\mathbb{P}^T\left(\begin{array}{c}  x \\ y \end{array}\right) = \left(\mathbb{P}^T\!\left(\begin{array}{c}  x \\ y \end{array}\right)\right)^T  \Lambda \;\;\mathbb{P}^T\!\left(\begin{array}{c}  x \\ y \end{array}\right) = (u,v)\;\;\Lambda\left(\begin{array}{c}  u \\ v \end{array}\right)  = u^2 + 6v^2 [/mathjax]

Otocena elipsa ma tedy rovnici , neboli .

↑ MichalAld:

Matice P je tvorena znormovanymi vlastnimi vektory te puvodni matice...

[mathjax] \left(\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} \end{array}\right) = 1 \cdot  \left(\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} \end{array}\right) [/mathjax]


[mathjax] \left(\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \end{array}\right) = 6 \cdot  \left(\begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \end{array}\right) [/mathjax]

mne to ale akosi nie je jasne ... a vobec, co je co v tom vypocte?
takze otocenie sa da zrejme robit aj bez toho uhlu alfa

↑ As3t0ur3k:
Úlohu "otoč elipsu" lze totiž stejně dobře chápat jako "najdi souřadný systém, ve kterém je elipsa rovně", nebo ještě lépe "vyjádři elipsu v souřadném systému, který je zarovnaný s elipsou".

Protože ty ten souřadný systém nakonec najít ani nepotřebuješ, stačí najít, jak bude vypadat rovnice elipsy v tomto systému.

A na to jsou určitě nejlepší ta vlastní čísla. Matici P vlastně vůbec nepotřebujeme znát.

Víš, jak se počítají vlastní čísla matice, nebo co to vůbec je?  Úlohy tohoto typu (že rovnice obsahuje smíšený člen xy) se takto většinou řeší, co já vím.

↑ As3t0ur3k:

Rovnice elipsy lze take zapsat jako [mathjax] (x,y)\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{a^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{b^2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}  x \\ y \end{array}\right) = 1 [/mathjax] a odpovida ji tedy diagonalni matice s vlastnimi cisly a na diagonale. Z nich lze urcit delky poloos a .  Pokud ale mas elipsu otocenou, ziskas nejakou symetrickou NEdiagonalni matici M. A pokud najdes rozklad teto matice M ve tvaru najdes i jakym zpusobem natocit elipsu, aby sla zapsat pomoci diagonalni matice . Pak totiz namisto vyjadreni s matici ktera je nediagonalni ziskas

,

coz uz je vyjadreni s diagonalni matici. Zaroven vlastni cisla matice a matice jsou stejna, takze tim, ze zjistis vlastni cisla matice , zjistis i delky poloos a zbytek uz te nemusi zajimat. Samozrejme muzes mit i otazku, o jaky uhel je elipsa natocena... potom pouzijes ten tvuj vzorecek.

↑ As3t0ur3k:

Uz z te prvni rovnice vidis, ze .

Takze

↑ As3t0ur3k:

A to vyplyva odkud? :-)

Tak to je nějaká blbost, přeurčené zadání. Ten úhel vyplývá už z té rovnice. A sice jsem to nepřepočítával, ale věřil bych tomu, co tady vypočítali ostatní.