Matematické Fórum

halogan · 19. 05. 2009 23:45

Dobrý večer,

mám několik dotazů, na které mi neodpověděla má učitelka na matematiku... asi jsem příliš zvědavý:

1) Mějme kvadratickou rovnici, která má diskriminant 0. Má tedy dvojný kořen. Je to ale polynomiální rovnice druhého stupně a viděl jsem definice (nebo jsem se koukal špatně?), kde se říká, že polynom n-tého stupně má n různých nulových bodů (či rovnice kořenů). Jen mě zajímá ta terminologie - dvojný kořen. Mám to brát jako dva kořeny, i když je to jeden a ten samý?

2) Binomická rovnice je definovaná jako $x^n = a$ (nebo s a na druhé straně rovnice), kde a je číslo komplexní a n je číslo přirozené. O té se tvrdí, že má n různých kořenů (tady jsem se snad nepřekoukl). Co když ale a = 0 + 0i? To pak více kořenů než 0 nevykouzlíme, nebo ano? To pak máme n-násobný kořen 0?

3) Co znamenají kořeny z oboru komplexních čísel při řešení kvadratické (či polynomiální) rovnice? Co mi ten výsledek značí? Má to nějaký geometrický význam? Jde mi o ověření výsledku (jiného, než pouhé dosazení) i o čirou zvědavost.

4) Z úplně jiného soudku, ale nechce se mi tady zbytečně zakládat nové téma, když už tu mám mnoho otázek. Mějme definici binomické věty. Na anglické wikipedii jsem se dočetl, že platí pro x a y ( $(x+y)^n$ ) reálných čísel. Co když ale y bude 0? To se pak dostaneme u prvního členu na ${n \choose 0} x^n \cdot y^0$ a 0^0 je nedefinovaný výraz. Co dostaneme při násobení reálného čísla (či komplexního) nedefinovaným výrazem? Opět nedefinovaný výraz, ne?

5) Ten dotaz jsem teď zapomněl, doplním později.

---

Omlouvám se, že se v tom tak šťourám, ale nedá mi to spát.

Díky za odpovědi.

lukaszh · 20. 05. 2009 00:43

↑ halogan:
1) v podstate aj ja v tom mám bordel :) Pod dvojnásobným koreňom chápem to čo chápeš ty. Vyjde n rovnakých pri polynóme n-tého stupňa.
2) treba opatriť podmienkou, že a nie je nulové. Niekde to píšu (v odbornej) na wikipedii to je zle :-)
3) $x^n=a$ korene ti vytvoria v komplexnej rovine pravidelný n-uholník
4) tak toto som pozeral vo viacerých knihách a v jednej je to pekne napísané takto
${n\choose 0}a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b^{1}+\cdots$
takže v tomto prípade také problémy nenastávajú. Wikipédia je osobitný problém.

halogan · 20. 05. 2009 07:45

3) To ano, to je pěkně, ale v kvadratické rovnice to bude... dvojúhelník, ale o to mi teď nejde. Jde mi o to, že nevím, co ty dva body geometricky reprezentují. Reálné kořeny jsou průsečíky osy x, tady je to co?

4) Ale obecně to je definováno, jak v tabulkách, tak na Wolfram.com jako ${n \choose k - 1} \cdot a^{n - k + 1} \cdot b^{k - 1}$ nebo ${n \choose k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$ . A tam problém nastává.

musixx · 20. 05. 2009 12:47 — Editoval musixx (20. 05. 2009 13:15)

1) Neni pravda, ze polynom n-teho stupne nad telesem ma n ruznych nulovych bodu, nybrz tzv. zakladni veta algebry rika, ze ma n korenu v algebraic completition (cesky asi: algebraickem zuplneni) tohoto telesa. Nasobne koreny se pocitaji tolikrat, kolik je jejich nasobnost - a to neni zadna zvlastni pohnutka mysli. Pojem korenu vychazi z faktorizace polynomu na linearni polynomy (tzv. korenove cinitele). Pak je jasne videt, ze polynom je faktorizovatelny na $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\cdots$ a nikdo se nezajima o poradi cisel $x_1,x_2,x_3,x_4,\dots$ , jejich vzajemnou ruznost atd.

EDIT: Jsme v sekci stredni skola. Takze predpokladam, ze az pozdeji budes slyset pojem komutativni okruh s jednoznacnou faktorizaci. Okruhy "obycejnych" polynomu mohou byt prikladem. No a pro priklad polynomu nad algebraicky uplnym telesem jsou korenove cinitele polynomu vlastne jakousi analogii k prvocislum (pro algebraicky neuplna telesa se dostanou do hry tzv. ireducibilni polynomy).

2) Souhlasim s lukaszhem: 'a' nenulove + ten pravidelny n-uhelnik

3) Zajimava otazka. Zatim jsem nad ni nikdy nepremyslel, ale kdyz si to rozepiseme, obdrzime zajimavou vec. Predpokladam, ze jde o kvadratickou rovnici s realnymi koeficienty. Pak koreny jsou komplexne sdruzene, oznacme je a+bi a a-bi. Pak ale $(x-a-bi)(x-a+bi)=x^2-2ax+(a^2+b^2)$ . No a tato parabola ma vrchol bode $[a,b^2]$ . Ted si uz jen promyslet, jak se projevi koeficient u $x^2$ : jiste zvladnes sam. Zaver je, ze parabola $px^2+qx+r$ s ryze komplexnimi koreny $x_{1,2}=a\pm bi$ ma vrchol v bode $\left[a,pb^2\right]$ .

4) Binomicka veta je veta. Je to tedy tvrzeni a nemuzes mluvit o definici binomicke vety. Nedelal bych z toho vedu. Zapis $\sum_{i=0}^n{n\choose i}x^{n-i}y^i$ bych oznacil jako "vhodny pro zapamatovani". Dokonce si tusim vzpominam, ze nam na zakladni prednasce z analyzy (a to je u me uz docela radka let) rikali, ze pro ucely binomicke vety definujeme $0^0=1$ . Ono pak jeste existuje zobecnena binomicka veta, kde exponentem muze byt libovolne racionalni cislo a definuje se rozsireny binomicky koeficient jako ${q\choose i}=\frac{q\cdot(q-1)\cdot(q-2)\cdot\ \cdots\ \cdot(q-i+1)}{i!}$ . Takove zapisy je treba brat "s rezervou". Kdyby se totiz mely vypsat vsechny podminky, za kterych to plati, byla by vec dost neprehledna a ztracela by se jeji "elegance", rekl bych...