Matematické Fórum

Fejtik · 19. 05. 2009 18:38

Zdravím všechny a prosím o pomoc!!!! Ve čtvrtek matím a tak nějak si propočítávám příklady a nějak nevím tak zkusím štěstí a zeptám se na pomoc někoho z vás. tady jsou příklady:

4x^2 + 2x + 1
_____________ > 0
x^2 + 2x + 1

3*cos^2(x) - sin^2(x) - 2*sin(x)cos(x) = 0

sin^2(x) + 3/2*cos^2(x) = 5/2*sin(x)cos(x)

log(x) + 3/2*log(x) + 3/4*log(x) + 3/8*log(x) + ..... = 3

Doufám že se mezi vámi najde někdo kdo porozumí mýmu zadání a pomuže "matematikovi" v nouzi :D
Zdravím a děkuji všem :)

marnes · 19. 05. 2009 18:46

↑ Fejtik:
4x^2 + 2x + 1
_____________ > 0
x^2 + 2x + 1

4x^2 + 2x + 1 nejde rozložit, D je <0, tudíž je čitatel vždy kladný

x^2 + 2x + 1=(x+1)^2 jediný nulový bod x=-1 být nemůže, jelikož je to jmenovatel, jinak je to opět vždy kladné, takže výsledek je všechna reálná čísla kromě -1

Jacob02

Tak vidim, ze jsem o chvili pomalejsi nez marnes, ale uz to tu necham :-D

Fejtik napsal(a):
4x^2 + 2x + 1
_____________ > 0
x^2 + 2x + 1

Ten vyraz na hore je vzdy kladny (podle diskriminantu, ktery je zaporny)

dole je to vyraz (x+1)^2, ktery je vzdy kladny krome -1, ktera jest v podmince. Podle me proto

$x\in R - [-1]$ (mela by tam byt slozena zavorka, neumim ji v Texu najit :-D)

ttopi · 19. 05. 2009 18:52

Ten součet logaritmů se dá napsat jako logaritmus součinu všech těch členů. Navíc si pomůžeme tím, že ty zlomky dáme jako mocninu x.
Takže to bude nakonec vypadat nějak takto:
$\log(x\cdot x^{\frac32}\cdot x^{\frac34}....)=3$ neboli $\log(x^{1+\frac32+\frac34+\frac38+......})=3$ a tedy $x^{1+\frac32+\frac34+\frac38+......}=10^3=1000$

Tu mocninu uděláme jako součet geometrické řady (vyjma prvního členu, samotného x), kde $a_1=\frac32$ a $q=\frac12$ , přičemž ten součet je $s=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac32}{1-\frac12}=3$

Pak dostáváme $x^{1+3}=1000\nlx^4=1000\nlx=\sqrt[4]{1000}$

Snad je to dobře

Jacob02 · 19. 05. 2009 18:58

↑ ttopi:
Dnes mi to nejak nevychazi, zrovna jsem to stejne reseni chtel odeslat :-D Dobre to snad tedy bude ;-) Hold jsem s Texem moc pomaly.

marnes · 19. 05. 2009 18:58

↑ Fejtik:
log(x) + 3/2*log(x) + 3/4*log(x) + 3/8*log(x) + ..... = 3 **

Tato část je geom posl s kvocientem <1, tudíš mohu určit součet 3/2*log(x) + 3/4*log(x) + 3/8*log(x) + .....
a1=3/2*log(x)
q=1/2

s=a1*(1/(1-q))=3/2*logx*(1/(1-1/2))=3/2*logx*2=3*logx

** logx+3logx=3
4logx=3
logx=3/4
x=10^(3/4)=čtvrtá odm z (10 na3)

ttopi · 19. 05. 2009 18:59

Takže to mám dobře, ale s tím, že jsem jako vůl zbytečně upravoval na logaritmus součinu :-)

marnes · 19. 05. 2009 19:00

↑ Jacob02:Dobrý, aspoň je kontrola:-)

marnes · 19. 05. 2009 19:01

↑ ttopi:Neéé, proč? Aspoň je vidět, že je více způsobů,ne?:-)

Fejtik · 19. 05. 2009 19:01

Děkuji vám mockrát... já se s tím trápil záhadnýma způsobama a vycházelo to zajímavě :D ještě teď tu goniometrii nějak zajímavě ;) děkuju ;)

Jacob02

Dival jsem se na ten 2. goniom. priklad a aspon naznacim, jak mi to vychazi (moc mi nejde to prepisovani v TeXu):

1) vyjadrim cos (nebo sinus, je na tobe) vzorcem se sinem: cosx=odmocnina (1-sin^2x)

2) upravim a zbavim se odmocniny (na druhou celou rovnici) - mam pak 4. a 2. stupen sinu - udelam substituci, napr. sin^2x=a, mne pak vysla pekna kvadraticka rovnice: 26a^2 - 31a +9 =0 (delal jsem hodne rychle, muze tam byt chyba). Tu klasicky vyresim a pak dosadim zpatky do substituce jeji koreny. To uz by melo jit dobre.

Jak se divam na ten prvni goniometricky priklad, melo by to byt obdobne, tak jen dej vedet, jestli ti to presto nebude vychazet.

Fejtik · 19. 05. 2009 19:32

↑ Jacob02:
Díky vyšlo mi to stejně... ;) pak už se s tím nějak poperu ;)

Jacob02 · 19. 05. 2009 19:36

↑ Fejtik:

Parada ;-)

Cheop · 20. 05. 2009 08:47 — Editoval Cheop (20. 05. 2009 09:09)

↑ Fejtik:
$3\cos^2 x-\sin^2 x-2\,\sin x\cdot\cos x=0\nl3\cos^2 x-1+\cos^2 x-2\,\sin x\cdot\cos x=0\nl4\,\cos^2 x-2\,\sin x\cdot\cos x-1=0\nl2\,\sin x\cdot\cos x=1-4\,\cos^2 x$
$4\,\sin^2 x\cdot\cos^2 x=1-8\,\cos^2 x+16\,\cos^4 x\nl4\,\cos^2 x-4\,\cos^4 x=1-8\,\cos^2 x+16\,\cos^4 x\nl20\,\cos^4 x-12\,\cos^2 x+1=0$ substituce $\cos^2 x=a$
$20a^2-12a+1=0\nla_1=\frac 12\nla_2=\frac{1}{10}$ vratka k substituci
a) $cos^2 x=\frac 12\nl\cos x=\pm\frac{\sqrt 2}{2}\nlx_1=45^\circ+2k\pi\nlx_2=315^\circ+2k\pi\nlx_3=135^\circ+2k\pi\nlx_4=225^\circ+2k\pi$
b) $\cos^2 x=\frac{1}{10}\nl\cos x=\pm\frac{\sqrt 10}{10}\nlx_5=71^\circ\,33'\,54''\nlx_6=288^\circ\,26'\,06''\nlx_7=108^\circ\,26'\,06''\nlx_8=251^\circ\,33'\,54''$

Protože jsme rovnici umocňovali, což je neekvivalentní úprava, musíme provést zkoušku.
Po provedené zkoušce nevyhovují kořeny: $x_2\,;\,x_3\,;\,x_5\,;\,x_8$

Řešením tedy jsou: $x\in(45^\circ\,;\,108^\circ\,26'\,06''\,;\,225^\circ\,;\,288^\circ\,26'\,06'')$
Řešení by se dalo přepsat na toto:
$x_1=45^\circ+\,k\cdot\,180^\circ\nlx_2=108^\circ\,26'\,06''+\,k\cdot\,180^\circ$

ttopi · 20. 05. 2009 08:52

↑ Cheop:
Správně, měl jsem doma stejný výsledek.

Ale proč zbytečně psát x1 až x4, když x1 a x4 stačí napsat jako $\frac{\pi}{4}+k\pi$ a x2 a x3 jako $\frac{3\pi}{4}+k\pi$ :-)

U těch x5-x8 vlastně to samé.

Cheop · 20. 05. 2009 10:59 — Editoval Cheop (20. 05. 2009 11:01)

↑ Fejtik:
$\sin^2 x-\frac 32\cdot\cos^2 x=\frac 52\cdot\sin x\cdot\cos x$
Principielně stejně jako př. 2) převést na fci sinus. Substituce za sin^2 x = a
Vyde toto:
$\sin^2 x_1=\frac{9}{10}\nl\sin^2 x_2=\frac{2}{10}$

Vyřešíme, provedeme zkoušku a výsledek je tento:
$x_1=71^\circ\,33'\,54''+\,k\cdot\,180^\circ\nlx_2=333^\circ\,26'\,06''+\,k\cdot\,180^\circ$

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2009 18:38

Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#2 19. 05. 2009 18:46

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#3 19. 05. 2009 18:47 — Editoval Jacob02 (19. 05. 2009 18:48)

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

Fejtik napsal(a):

#4 19. 05. 2009 18:52

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#5 19. 05. 2009 18:58

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#6 19. 05. 2009 18:58

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#7 19. 05. 2009 18:59

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#8 19. 05. 2009 19:00

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#9 19. 05. 2009 19:01

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#10 19. 05. 2009 19:01

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#11 19. 05. 2009 19:08 — Editoval Jacob02 (19. 05. 2009 19:36)

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#12 19. 05. 2009 19:32

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#13 19. 05. 2009 19:36

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#14 20. 05. 2009 08:47 — Editoval Cheop (20. 05. 2009 09:09)

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#15 20. 05. 2009 08:52

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

#16 20. 05. 2009 10:59 — Editoval Cheop (20. 05. 2009 11:01)

Re: Nekonečná geometrická řada, goniometrické vzorce, nerovnice...........

Zápatí