Matematické Fórum

Pritt · 14. 04. 2018 12:41 — Editoval Pritt (14. 04. 2018 12:48)

Zdravím,

potřebuji generovat náhodné vektory rovnoměrně uvnitř hyperkoule obecně o $n$ dimenzích.
Potřebuji, aby to fungovalo v přijatelném čase, takže acception-rejection metoda je pro mě nevhodná. Větší $n$ ( $n = 60$ ).

Našel jsem na internetu matlabovskou funkci, která se tváří, že by mohla fungovat, nicméně jsem k ní už nenašel vysvětlení, proč by právě takto generování těchto vektorů mělo vypadat.

Funkce vypadá následovně:

1) Vezmu náhodný vektor $\vec{x}$ , kde $x_i \sim N(0,1), \; i = 1,2,\dots,n$ .
2) $s_2 = \sum\limits_{i=1}^n x_i^2$
3) $\vec{x} := r\cdot\frac{\sqrt[n]{\mathrm{gammainc}(\frac{s_2}{2},\frac{n}{2}) }}{ \sqrt{s_2}} \cdot \vec{x}$
kde $r$ je poloměr hyperkoule $H(r,\vec{0})$ se středem v bodě $\vec{s} = \vec{0}$
a funkce $\mathrm{gammainc}(x,a)$ je nekompletní gamma funkce definovaná takto: $\mathrm{gammainc}(x,a) = \frac{1}{\Gamma(a)}\int_0^xt^{a-1}e^{-t}\mathrm{dt}$ ,
kde $\Gamma(a)$ je gamma funkce.

Moje otázka zní:
Proč uvedený postup generuje rovnoměrně náhodné vektory uvnitř hyperkoule?

Pokud by někdo věděl alespoň o nějakých materiálech, kde to je vysvětlené, budu vděčný.

Děkuji

laszky · 14. 04. 2018 14:39

Ahoj. Podle tveho vztahu to v 1D vychazi jako

$x := r \cdot \mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$ ,

coz by mohlo jit lepe interpretovat. ;-)

MichalAld · 14. 04. 2018 17:16

↑ laszky:
Pak to tedy ale není rovnoměrně rozložené, ale spíš Gaussovsky, né ?

Na rovnoměrně rozložené vektory by přece stačilo vzít $\frac{\vec{x}}{ \sqrt{s_2}}$ (jednotkový vektor náhodného směru) a přenásobit jej ještě nějakým náhodným číslem v rozsahu (0, r). Nebo né ?

Pritt · 14. 04. 2018 17:33

↑ laszky:

Ahoj, díky za reakci,

pokud bych generoval $x$ z normálního rozdělení $N(0,1)$ , tedy pokud by $x$ mohla nabývat i záporných hodnot, upřesnil bych vztah na $x := \mathrm{sgn} (x) r \cdot \mathrm{erf}\left(\dfrac{|x|}{\sqrt{2}}\right)$ , ale to je detail. Nicméně, dalo by se to interpretovat jako, že $x$ přiřazuji $r-$ krát pravděpodobnost, že veličina $y \sim N(0,1)$ leží v intervalu $\left(-\dfrac{|x|}{\sqrt{2}}, \; \dfrac{|x|}{\sqrt{2}}\right)$ ?

laszky · 14. 04. 2018 17:36 — Editoval laszky (14. 04. 2018 17:40)

↑ MichalAld:

Pokud nahodny vektor je bran jako (X-0), kde X je nahodny bod v jednotkove kouli, potom delsi vektory jsou asi pravdepodobnejsi nezli kratsi, coz ten tvuj postup nesplnuje.

Podle me, v tom 1D, kdyz je $P(X\leq x)=\Phi(x)=\frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$ , potom z toho plyne, ze $P(\widehat{X}\leq \widehat{x}) = \frac{1}{2}\left[1+\frac{\widehat{x}}{r}\right]$ , kde $\widehat{X}=r\cdot\mathrm{erf}\left(\frac{X}{\sqrt{2}}\right)$ . To znamena, ze $\widehat{X}$ ma rovnomerne rozlozeni na intervalu $(-r,r)$ . Ale nejsem zadnej odbornik, je to jen muj tip ;-)

laszky · 14. 04. 2018 17:39

↑ Pritt:

$\mathrm{erf}(x)$ je licha funkce, takze $\mathrm{erf}(x)=\mathrm{erf}(|x|)\mathrm{sgn}(x)$ .

Pritt · 14. 04. 2018 18:05

↑ laszky:

To vypadá zajímavě :), ale jsem natvrdlej a uniká mi jak z $P(X\leq x)=\Phi(x)=\frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$ plyne $P(\widehat{X}\leq \widehat{x}) = \frac{1}{2}\left[1+\frac{\widehat{x}}{r}\right]$ .
Ztrácim se asi v tom přeznačování.

laszky · 14. 04. 2018 18:08

↑ Pritt:

Bude to proste tou transformaci $\widehat{X}=r\cdot\mathrm{erf}\left(\frac{X}{\sqrt{2}}\right)$ . Presny zduvodneni (asi nejaka substituce v odpovidajicich integralech) musis uz domyslet sam :-)

jarrro · 14. 04. 2018 19:18

Nie je to iba kratšie zapísané , že ak $X$ je normované normálne potom $\hat{X}=r\mathrm{erf}{$\frac{X}{\sqrt{2}}$}$ je rovnomerné na $$-r, r$$ ?
Lebo
$P{$\hat{X}\leq t$}=P{$X<\sqrt{2}\mathrm{erf}^{-1}{\(\frac{t}{r}$}\)}=\frac{1}{2}$1+\mathrm{erf}{\(\frac{\sqrt{2}\mathrm{erf}^{-1}{\(\frac{t}{r}$}}{\sqrt{2}}\)}\)=\frac{1}{2}$1+\frac{t}{r}$$