Matematické Fórum

Terry H. · 16. 04. 2018 15:47

Dobrý den potřebuji poradit s příkladem.

mám soustavu
x´= 3x - 2y
y´= 2x - y +1

Mám vypočítaný vlastni čísla a vlastní vektory
$\lambda _{1,2} = 1$
$v_{1} = (1;1)$
$v_{2} = (1;1/2)$

No a teď přichází problém u partikulárního řešení, počítáno přes metodu variaci konstant

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-04/86084_IMG_20180416_152824.jpg

Kde f = (0,1)

Když spočtu inverzni matici a prenásobím to funkcí f

Nemyslím, že integrál z 0 je správný postup.

Děkuji předem za pomoc

laszky · 16. 04. 2018 17:11 — Editoval laszky (16. 04. 2018 17:21)

Ahoj, protoze mas na prave strane konstantu, bude partikularni reseni konstantni (derivace konstanty je 0). Takze ti staci vyresit soustavu rovnic $\mathbb{A}\boldsymbol{x}_p=\begin{pmatrix}0\cr -1\end{pmatrix}$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Terry H. · 16. 04. 2018 17:37

↑ laszky:

děkuji za radu, ale moc tomu nerozumim odkud je toto $\mathbb{A}\boldsymbol{x}_p=\begin{pmatrix}0\cr -1\end{pmatrix}$ ?

děkuji za odpověď

laszky · 16. 04. 2018 17:48

↑ Terry H.:

Ahoj, partikularni reseni musi splnovat

$\boldsymbol{x}'_p = \mathbb{A}\boldsymbol{x}_p+\begin{pmatrix}0\cr 1\end{pmatrix}$ .

Pokud predpokladame, ze $\boldsymbol{x}_p$ je konstantni, pak $\boldsymbol{x}'_p=\begin{pmatrix}0\cr 0\end{pmatrix}$ , z toho ziskas, ze musi byt $\mathbb{A}\boldsymbol{x}_p=\begin{pmatrix}0\cr -1\end{pmatrix}$ .

Terry H. · 16. 04. 2018 18:39

↑ laszky:

ahoj,
ano už to v tom vidím díky

bohužel tomu stále nerozumim, ted jsem ještě zjistila, že tu inverzni matici mám špatně
myslím, že chápu nějak ten postup, ale to co mi vychází není nic pěkného

podle mého postupu bych teď měla spočítat integrali
$\int_{}^{}(2*(1+t))/(e^t*t)$

$\int_{}^{}-2/(e^t*t)$

a to mi přijde na integrování dost těžký

díky

laszky · 16. 04. 2018 18:59

↑ Terry H.:

Prilis nechapu, kdes k tomu prisla. Kdes vlastne vzala ten druhej vl. vektor? A na tom druhem obrazku nasobis vektor s matici nejak zvlastne? ....to ma byt inverzni matice k matici $\mathrm{e}^{\mathbb{A}t}$ ?

Terry H. · 16. 04. 2018 19:20

takhle jsem to počítala

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-04/99082_IMG_20180416_191256.jpg

laszky · 16. 04. 2018 20:08

Ahoj, chybu mas v tom poslednim obrazku, kde ma namisto

$\begin{pmatrix}1+t \cr 1+\frac{1}{2}t\end{pmatrix}$

byt

$\begin{pmatrix}1+t \cr \frac{1}{2}+t\end{pmatrix}$

Terry H.

↑ laszky:
Děkuji, po opravě to vychází už lépe, ale stejně mi tu zůstal integrál
$\int_{}^{}2/(e^t*t)$
a ten nevím, jak řešit

laszky · 16. 04. 2018 21:35 — Editoval laszky (16. 04. 2018 21:37)

↑ Terry H.:

Ok, takze mas $\boldsymbol{x}_p=\begin{pmatrix}\mathrm{e}^t&(1+t)\mathrm{e}^t \cr\mathrm{e}^t& (\frac{1}{2}+t)\mathrm{e}^t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C(t)\cr D(t)\end{pmatrix}$ , kde

$\begin{pmatrix}0\cr 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathrm{e}^t&(1+t)\mathrm{e}^t \cr\mathrm{e}^t& (\frac{1}{2}+t)\mathrm{e}^t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C'(t)\cr D'(t)\end{pmatrix}$

Inverzni matice k $\mathbb{M}=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}$ se spocita podle vztahu $\mathbb{M}^{-1}=\frac{1}{\det\mathbb{M}}\begin{pmatrix}d&-b\cr -c&a\end{pmatrix}$

Terry H. · 16. 04. 2018 22:17

tak proto to mám zase špatně, zapomněla jsem prohodit a s d, tak snad teď už to dopočítam

Mockrát děkuji za pomoc =)

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2018 15:47

Soustavy diferenciálních rovnic

#2 16. 04. 2018 17:11 — Editoval laszky (16. 04. 2018 17:21)

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

#3 16. 04. 2018 17:37

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

#4 16. 04. 2018 17:48

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

#5 16. 04. 2018 18:39

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

#6 16. 04. 2018 18:59

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

#7 16. 04. 2018 19:20

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

#8 16. 04. 2018 20:08

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

#9 16. 04. 2018 20:31 — Editoval Terry H. (16. 04. 2018 20:32)

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

#10 16. 04. 2018 21:35 — Editoval laszky (16. 04. 2018 21:37)

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

#11 16. 04. 2018 22:17

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

Zápatí