Matematické Fórum

Al1 · 20. 04. 2018 07:59 — Editoval Al1 (20. 04. 2018 08:05)

Dobrý den,
vyšetřuji lokální extrémy funkce $f(x,y)=y^{3}+3xy^{2}+2x^{3}+9x^{2}$ .
Stacionární body jsou $S_{1}[-3,0], S_{2}[-1,2], S_{3}[0,0]$ . V $S_{1}$ má fce lokální maximum, v $S_{2}$ sedlový bod. Starosti mi dělá $S_{3}$ . Hessián je nulový. Vezmu definici extrému, kdy vyšetřuji přírůstek funkce pro velmi malá $h_{1}, h_{2}$ . Vychází $\Delta f=h_{2}^{3}+3h_{1}h_{2}^{2}+2h_{1}^{3}+9h_{1}^{2}$ .
Zkoumám
$(1) h_{1}=0\wedge h_{2}=0\nl (2) h_{1}=0\wedge h_{2}\neq 0$
atd.
V (2) dostávám $\Delta f=h_{2}^{3}$ , a to může nabývat kladných i záporných hodnot. Podobně neprůkazné vycházejí i další možnosti.
Co mohu o bodu $S_{3}$ prohlásit? Je to sedlo? Mám ještě nejakou jinou možnost, jak určit, zda se jedná o extrém? WA hlásí sedlo, MAW hlásí nelze rozhodnout.
Děkuji.

Pritt · 20. 04. 2018 11:53 — Editoval Pritt (20. 04. 2018 12:02)

↑ Al1:

Zdravím, protože $f(0,0) = 0$ , potom by měla argumentace na základě $\Delta f=h_{2}^{3}$ stačit, nebo ne? Víme, že to je stacionární bod, tedy gradient v tomto bodě je nulový. Extrém tam určitě nemůže nastat, neboť neexistuje prstencové okolí $U(h_2)$ takové, aby pro všechny $h' \in U(h_2)$ platilo, že $\Delta f=h'^{3} > 0$ , resp. $\Delta f=h'^{3} < 0$ . Musí tam být tedy sedlo.

Al1 · 20. 04. 2018 11:59

↑ Pritt:

Děkuji.

Matematické Fórum

#1 20. 04. 2018 07:59 — Editoval Al1 (20. 04. 2018 08:05)

Lokální extrémy funkce dvou proměnných

#2 20. 04. 2018 11:53 — Editoval Pritt (20. 04. 2018 12:02)

Re: Lokální extrémy funkce dvou proměnných

#3 20. 04. 2018 11:59

Re: Lokální extrémy funkce dvou proměnných

Zápatí