Matematické Fórum

As3t0ur3k

Ahojte mam za ulohu overit ci je postupnost $\{x^n\}$ rovnomerne konvergentna na intervale $[0,1]$
Musi platit ze
$\forall \varepsilon > 0 \exists n : |f_n(x)-f(x)|< \varepsilon$
funkcia $f(x)$ bude funkcia taka ze:
f(x) = 0 , ak $x<1$
= 1 , ak $x =1$

potom napr. pre $\varepsilon=0,1$ staci zvolit z mnoziny bod $a=0,9$ a $n=50$ a nerovnost plati, lebo $|0,9^{50}-0|=|0,005|=0,005<0,1$
pre $\varepsilon=0,001$ staci zvolit z mnoziny bod $a=0,99$ a $n=1000$ a nerovnost opat plati, lebo
$|0,99^{1000}-0|=|0,00004|=0,00004<0,001$
Pre bod $a=1$ dokonca plati: $|f_n(x)-f(x)|=0$ takze pre $\forall \varepsilon > 0$ to tiez plati.
Teda je to rovnomerne konvergentne?

vlado_bb · 21. 04. 2018 13:23

↑ As3t0ur3k: Vsimni si v definicii rovnomernej konvergencie, pre ktore $x$ musi byt splnena nerovnost $|f_n(x)-f(x)|< \varepsilon$ .

Pri tvojom postupe si sa nemusel trapit s hladanim $x$ pre rozne hodnoty $\varepsilon$ , stacilo vziat $x=0$ , nie?

As3t0ur3k

pre vsetky z daneho intervalu, teda v nasom pripade $\forall x\in [0,1]$

vlado_bb · 21. 04. 2018 13:25

↑ As3t0ur3k: Takze to, ze si nasiel NEJAKE $x$ , pre ktore je nerovnost splnena, nebude stacit.

As3t0ur3k

ano, v tej nule to neplati, tak potom rovnomerne konverguje iba na $(0,1]$ ?

vlado_bb · 21. 04. 2018 13:32

↑ As3t0ur3k: Preco by bol v nule problem? Ved predsa pre lubovolne $n \in N$ je $0^n=0<\varepsilon$ pre lubovolne $\varepsilon >0$ .

As3t0ur3k · 21. 04. 2018 13:39

aha a naozaj, trosku som sa nechal zmiast :)
tak teda potom je rovnomerne konvergentny na celom intervale

vlado_bb · 21. 04. 2018 13:40

↑ As3t0ur3k: To by si ale musel dokazat ... Zatial si pre dve rozne hodnoty $\varepsilon$ nasiel NEJAKU hodnotu $x$ , pre ktoru je $|f_n(x)-f(x)|< \varepsilon$ . Ja som iba poznamenal, ze celu tu namahu si si mohol usertrit, lebo takym $x$ je napriklad aj nula.

Uplne staci ak zostanes pri $\varepsilon=0.1$ . Skus pre tuto hodnotu ukazat, co treba.

As3t0ur3k

no tak ja neviem ako to mam dokazat, ale myslim ze to plati pretoze som nenasiel ziadny protipriklad

vlado_bb

↑ As3t0ur3k: No tak nech $\varepsilon =0.1$ . Skus ukazat, ze existuje $n_0 \in N$ take, ze pre vsetky $n \ge n_0$ je pre vsetky $x \ [0,1]$ splnene $|x^n - f(x)|<0.1$ , kde $f$ je limita, ktoru si (spravne) nasiel.

Obrazok je aj v tomto pripade uzitocna pomocka.

As3t0ur3k

tak staci zvolit dostatocne velke $n$ tak napr. pre $n=1000$ to bude platit a plati to pre vsetky $x\in [0,1]$

vlado_bb

↑ As3t0ur3k: Si si isty, ze pre vsetky $x \in [0,1]$ je $x^{1001} < 0.1$ ?

Obrazok je MIMORIADNE vhodna pomocka.

As3t0ur3k

obrazok mam nakresleny
no myslim ze napr. pre $999/1000$ to uz nebude platit

vlado_bb · 21. 04. 2018 13:53

↑ As3t0ur3k: Takze aky je tvoj zaver?

As3t0ur3k

staci zvolit vacsie $n$ a zase to platit bude lebo $(999/1000)^{10000}=0,00004$ a to je mensie ako nase $\varepsilon =0,1$ teda $n=10 000$

vlado_bb

↑ As3t0ur3k: A teda pre VSETKY $x\in [0,1]$ bude $|x^{10 000}-f(x)| < 0.1$ ? Ten obrazok by som rad videl, ak by to bolo mozne. Neverim, ze pri pohlade na to, ako vyzeraju grafy funkcii $x^n$ nevies na otazku ulohy odpovedat okamzite.

As3t0ur3k

aha no jasne uz chapem co chcete povedat .. nie nebude to platit pre vsetky lebo akokolvek velke $n$ zvolim tak na obrazku vidno ze "blizko" tej jednotky tam vzdy nejake cislo nebude pre $n$ splnovat nasu nerovnicu $|x^{10 000}-f(x)| < 0.1$ napr. pre $n=9999/10000$ to neplati

vlado_bb · 21. 04. 2018 14:07

↑ As3t0ur3k: Presne tak, som rad, ze si na to dosiel v podstate sam.

As3t0ur3k · 21. 04. 2018 14:08

tak dakujem vam za trpezlivost a pomoc :)

vlado_bb · 21. 04. 2018 14:09

↑ As3t0ur3k: Rad pomozem, zvlast ak druha strana spolupracuje ... drzim palce, ak by boli dalsie problemy, nevahaj sa ozvat.

vlado_bb · 21. 04. 2018 14:48

Ak sa zaoberas rovnomernou konvergenciou, zrejme sa coskoro dostanes k tvrdeniu, ktore hovori, ze limita rovnomerne konvergentnej postupnosti SPOJITYCH funkcii je tiez spojita. Uz aj odtial je vidiet, ze dana postupnost nemoze rovnomerne konvergovat k funkcii $f$ , lebo ak by ano, tak $f$ by musela byt spojita.

Samozrejme, mohla by vzniknut otazka, ci rovnomerne nekonverguje k nejakej inej (spojitej) funkcii. Odpoved je zaporna, nie je tazke zistit dovod.

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2018 13:19 — Editoval As3t0ur3k (21. 04. 2018 13:22)

je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#2 21. 04. 2018 13:23

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#3 21. 04. 2018 13:25 — Editoval As3t0ur3k (21. 04. 2018 13:27)

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#4 21. 04. 2018 13:25

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#5 21. 04. 2018 13:27 — Editoval As3t0ur3k (21. 04. 2018 13:27)

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#6 21. 04. 2018 13:32

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#7 21. 04. 2018 13:39

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#8 21. 04. 2018 13:40

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#9 21. 04. 2018 13:43 — Editoval As3t0ur3k (21. 04. 2018 13:43)

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#10 21. 04. 2018 13:46 — Editoval vlado_bb (21. 04. 2018 13:48)

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#11 21. 04. 2018 13:50 — Editoval As3t0ur3k (21. 04. 2018 13:51)

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#12 21. 04. 2018 13:52 — Editoval vlado_bb (21. 04. 2018 13:53)

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#13 21. 04. 2018 13:53 — Editoval As3t0ur3k (21. 04. 2018 13:54)

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#14 21. 04. 2018 13:53

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#15 21. 04. 2018 13:55 — Editoval As3t0ur3k (21. 04. 2018 13:55)

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#16 21. 04. 2018 13:59 — Editoval vlado_bb (21. 04. 2018 13:59)

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#17 21. 04. 2018 14:07 — Editoval As3t0ur3k (21. 04. 2018 14:08)

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#18 21. 04. 2018 14:07

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#19 21. 04. 2018 14:08

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#20 21. 04. 2018 14:09

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

#21 21. 04. 2018 14:48

Re: je postupnost x^n rovnomerne konvergentna ?

Zápatí