Matematické Fórum

jakubkoval · 21. 04. 2018 20:44

Zdravím, v škole sme dostali za úlohu príklad

Daná je kvadratická rovnica x $^{2}$ -7x+12=0. Bez toho aby si ju riešil zostav kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú o 3 menšie ako korene pôvodnej rovnice.

Jediné čo nám k tomu učiteľka povedala bolo, že pri kvadratickej rovnici o koreňoch platí, že
x1*x2=c/a
x1+x2 = -b/a

Skutočne sa neviem v tomto príklade nikam pohnúť, prosím, nájde sa niekto kto mi pomôže?
Vďaka

vlado_bb · 21. 04. 2018 21:14

↑ jakubkoval: Ano, to je spravna rada. Nasiel si podla nej korene tejto rovnice?

Al1 · 21. 04. 2018 21:19

↑ jakubkoval:

Zdravím,

vztahy
x1*x2=c/a
x1+x2 = -b/a
se nyzývají Vietovy vzorce.
a, b, c jsou koeficienty po řadě kvadratického, lineárního a absolutního členu. Umíš je vyčíst z tvé rovnice $x^{2}-7x+12=0$

jakubkoval · 21. 04. 2018 21:33

jasné, už som to pochopil, že sú to Vietove vzorce, ale nikdy som to nevidel v takomto tvare. To už chápem
a je zrejmé, že som dokázal dospieť ku koreňom(či už cez VV, alebo diskriminant)
(x-4)(x-3)=0
x1=4
x2=3
a dokážem teda týmto postupom dôjsť aj k tomu, že tá moja nová rovnica bude mať korene 1;0
tj bude mať tvar
(x-1)(x)=0
xx-x = 0

ale zo zadania chápem, že by som pôvodnú rovnicu nemal riešiť, tj. by som nemal nachádzať jej korene.. Možno zle chápem zadanie, ale pripadá mi to tak, že by som mal postupovať inak ako takto.. :/

Al1 · 21. 04. 2018 21:54

↑ jakubkoval:

Jen jsem tě chtěl navést na užití těch vzorců. Ty opravdu nemáš hledat kořeny původní rovnice, ale víš, že je jejich součet 7 a součin 12. Nové kořeny pak jsou $x_{3}=x_{1}-3, x_{4}=x_{2}-3$
Tak vyjádři jejich součet a součin a dosaď hodnoty ze vztahů pro $x_{1},x_{2}$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jakubkoval · 21. 04. 2018 22:05

rozumiem,
podľa postupu (ktorý som si neskôr všimol aj v kolonke "skrytý text") som došiel k tomu, že súčet x3+x4= 1
dosadil som si to do rovnosti a vyšlo mi
x3=1-x4
(1-x4)*x4 = x1*x2-3x1-3x2+9
x4-x4x4 = 12-3*(7-x2)-3x2+9
x4-x4x4=0
x4(1-x4)=0
takže ak
x4 = 0 potom x3 = 1
x4 = 1 potom x3 = 0

čiže korene rovnice sú 1;0
teda musí mať tvar
x(x-1)=0

pochopil som to správne?
a mimochodom, ďakujem za Váš čas! Veľmi si to vážim!

Al1 · 21. 04. 2018 22:07

↑ jakubkoval:

Já bych řešil:
$x_{3}\cdot x_{4}=(x_{1}-3)(x_{2}-3)=x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9$

jakubkoval · 21. 04. 2018 22:10

↑ Al1:

jasné, chápem, jednoduchšie..
ešte raz, ďakujem veľmi pekne! :)

Aspro1 · 23. 04. 2018 22:27 — Editoval Aspro1 (23. 04. 2018 22:31)

Já bych to řešil tak, že bych v zadané rovnici udělal substituci $x = y + 3$ (a roznásobil bych závorky $(y + 3)$ , které by se tam objevily). Vznikla by rovnice s neznámou $y$ . Ke každému $x$ , které by bylo kořenem původní rovnice, by bylo o 3 menší $y$ , které by bylo kořenem rovnice získané substitucí.

Al1 · 24. 04. 2018 07:01

↑ Aspro1:

Zdravím,

pokud vyloženě nemáme užít Vietovy vzorce, pak můžeme užít tvůj postup. :-)

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2018 20:44

KVADRATICKÁ rovnica

#2 21. 04. 2018 21:14

Re: KVADRATICKÁ rovnica

#3 21. 04. 2018 21:19

Re: KVADRATICKÁ rovnica

#4 21. 04. 2018 21:33

Re: KVADRATICKÁ rovnica

#5 21. 04. 2018 21:54

Re: KVADRATICKÁ rovnica

#6 21. 04. 2018 22:05

Re: KVADRATICKÁ rovnica

#7 21. 04. 2018 22:07

Re: KVADRATICKÁ rovnica

#8 21. 04. 2018 22:10

Re: KVADRATICKÁ rovnica

#9 23. 04. 2018 22:27 — Editoval Aspro1 (23. 04. 2018 22:31)

Re: KVADRATICKÁ rovnica

#10 24. 04. 2018 07:01

Re: KVADRATICKÁ rovnica

Zápatí