Matematické Fórum

nejsemfyzik123

Ahoj,
Řeším tento příklad:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4&-3 \end{pmatrix}$ A mám přijít na vlastní čísla a vlastní vektory matice.

Řeším to takto:

$A = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 \\ 4&-3-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda) \cdot (-3-\lambda) -12 = -3 -\lambda +3\lambda +\lambda^2 - 12 = \lambda^2 + 2\lambda -15 = \lambda\cdot(\lambda-13)$

$\lambda_{1} = 0$
$\lambda_{2} = 13$

Výpočet vlastní vektorů:

$\lambda_{1} = 0 : \begin{pmatrix} 1+0 & 3 \\ 4&-3+0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$v_{1}+3v_{2} = 0 ..... v_{1} = t$
$4v_{1}-3v_{2} = 0 ..... v_{2} = \frac{4}{3}t$

Takže vlastní vektor pro matici A pro $\lambda_{1} = 0 = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{4}{3} \end{pmatrix}$

Obodobně jsem výpočet provedl taky pro $\lambda_{2} = 13 = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

Postupoval jsem správně? Nyní mám provést zkoušku. Tu ale netuším, jak provést. Můžete mi poradit?

Předem děkuji.

Monika1985

↑ nejsemfyzik123:
pri tom prvom výpočte máš chybu
$\lambda ^2+2\lambda -15=(\lambda +5)*(\lambda -3)$

takže $\lambda 1= -5$ $\lambda 2= 3$

nejsemfyzik123

↑ Monika1985:

Aha, děkuji.

Takže tím pádem vyjdou vlastní vektory $\lambda_{1} = -5 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$
a $\lambda_{2} = 3 = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

Monika1985 · 24. 04. 2018 13:36

↑ nejsemfyzik123:
ešte raz si to prepočítaj, malo by to byť
$\lambda 1=-5=[-1/2, 1]$ $\lambda 2=3=[3/2, 1]$

nejsemfyzik123

$4v_{1}-3v_{2} = 0 ..... v_{2} = \frac{4}{3}t$ Počítal jsem takto:

$\lambda_{1} = -5 : \begin{pmatrix} 1-(-5) & 3 \\ 4&-3-(-5) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$6v_{1}+3v_{2} = 0 ..... v_{1} = \frac{1}{2}t$
$4v_{1}+2v_{2} = 0 ..... v_{2} = t$

Co tedy dělám špatně? Já si nemůžu jako parametr zvolit cokoliv chci?

Monika1985 · 24. 04. 2018 14:04

↑ nejsemfyzik123:

zle upravuješ tú predposlednú rovnicu :)
$v1=-1/2*t$

takže ak zvolím t=1 potom v1=-1/2

nejsemfyzik123 · 24. 04. 2018 14:56

↑ Monika1985:

No jo, už to vidím :)

A když mám teda teď vlstní čísla a vektory matice, jak udělám tu zkoušku?

Aspro1 · 24. 04. 2018 15:06

Zkoušku udělám tak, že pro všechny nalezené vlastní vektory a pro všechna vlastní čísla ověřím, že je splněná rovnost $\mathbb{A}x = \lambda x$ , když za $x$ dosadím vlastní vektor matice $\mathbb{A}$ příslušný k vlastnímu číslu $\lambda$ .

nejsemfyzik123 · 24. 04. 2018 15:14

↑ Aspro1:

To jsem si přesně myslel a dokonce jsem to i s původními (špatnými) výsledky zkoušel a překvapivě mi zkouška nevyšla :)

Teď už mi to vychází správně, děkuji.

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2018 13:01 — Editoval nejsemfyzik123 (24. 04. 2018 13:17)

Vlastní čísla a vlastní vektory matice

#2 24. 04. 2018 13:17 Příspěvek uživatele Monika1985 byl skryt uživatelem Monika1985. Důvod: už

#3 24. 04. 2018 13:20 — Editoval Monika1985 (24. 04. 2018 13:21)

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice

#4 24. 04. 2018 13:32 — Editoval nejsemfyzik123 (24. 04. 2018 13:33)

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice

#5 24. 04. 2018 13:36

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice

#6 24. 04. 2018 13:58 — Editoval nejsemfyzik123 (24. 04. 2018 13:59)

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice

#7 24. 04. 2018 14:04

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice

#8 24. 04. 2018 14:56

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice

#9 24. 04. 2018 15:06

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice

#10 24. 04. 2018 15:14

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice

Zápatí