Matematické Fórum

linet123 · 24. 04. 2018 10:13

Ahoj, chtěla bych se zeptat na správnost řešení tohoto příkladu, který zní takto:
K síťovému napětí $u_{0}=230\sqrt{2}cos(\omega t)$ je připojen jednofázový motor s příkonem Pp= 300W a účiníkem $cos \varphi =0,65$ , frekvence f= 50Hz. Je vhodné ke kompenzaci použít kondenzátor C o velikosti $C= 30*10^{-6}F$ . Jak se změní účiník tohoto spojení?

Postup výpočtu:
$P=U*I*cos\varphi$
$cos\varphi =\frac{P}{UI}$
$X_{C}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2*\Pi *50*30*10^{-6}}=106,1 \Omega$
$I=\frac{U}{X_{C}}=\frac{230*\sqrt{2}}{106,1}=3,03A$
$cos\varphi =\frac{P}{UI}=\frac{300}{3,06*230*\sqrt{2}}=0,301$
z výsledku mi vyplývá, že ke kompenzaci není vhodné použít tento kondenzátor, protože by účiník měl vyjít v rozmezí 0,95-0,98

Mohl by mi někdo prosím poradit? Děkuji za odpověď.

MichalAld · 24. 04. 2018 22:16

Já jsem tohle nikdy nepočítal, takže vše je bez záruky, ale šel bych na to tako.
Motor si (pro tento případ) představíme jako PARALELNÍ zapojení odporu a cívky - protože k tomu chceme připojovat paralelně kondenzátor, tak je výhodné paralelní náhradní zapojení)

Pro výkon platí:
$\overline{S}=P+jQ=\overline{U}\overline{U}^{*}\overline{Y}=|\overline{U}|^2\overline{Y}=U^2(G+jB)$
(S-zdánlivý, P-činný, Q-jalový, G-vodivost, B-susceptance co je s pruhem jsou fázory - komplexní čísla):

Z toho plyne, že: $P=U^2G$ a $Q=U^2B$

Můžeme spočítat G: $G=\frac{P}{U^2}=\frac{300}{230^2}=0.00567S$

Dále platí (je to vlastnost komplexních čísel) že:
$\frac{Q}{P}=\frac{B}{G}=\tan \varphi$

V dalším výpočtu budeme potřebovat $\tan \varphi$ tak si ho vypočítáme (přes funkci arccos)
$\cos \varphi = 0.65 \Rightarrow \varphi = 49.46 ^\circ \Rightarrow \tan \varphi = 1.17$

Z toho už můžeme vypočítat B - induktivní susceptanci (převrácenou reaktanci) motoru
$B=G \tan \varphi = 0.00567*1.17=0.006635S$

Tím máme určenou admitanci motoru G+jB. A otázka zní, jak se tato admitance změní, když připojíme paralelní kondenzátor se susceptancí Bc:
$B_c=\omega C=2 \pi f C=2*3.14*50*(30*10^{-6})= 0.00942 S$

Celková admitance obvodu po připojení kondenzátoru bude G+j(B-Bc), motor má indukční charakter a kondenzátor kapacitní, takže se jejich susceptance budou odečítat. Nás ale zajímá hlavně fázový posuv (účinník), a pro něj platí:

$\tan \varphi = \frac{B-B_c}{G}=\frac{0.006635-0.00942}{0.00567}=-0.4912$

A zase tradičním postupem (to záporné znaménko můžeme ignorovat, účiníku je jedno, jestli je indukční nebo kapacitní):
$\tan \varphi = 0.4912 \Rightarrow \varphi = 26.2^\circ \Rightarrow \cos \varphi = 0.898$

Po kompenzaci máme tedy účiník 0.9, šlo by to i líp, když by byl kondenzátor menší. Takto jsme to překompenzovali. Ideální kapacita kondenzátoru je taková, aby Bc bylo stejné jako B motoru. Potom se to úplně odečte a vyjde účiník přesně 1.

PS: Všechno je bez záruky, zejména ty výpočty, hi.

PPS: Co to vlastně studuješ za školu ?