Matematické Fórum

nejsemfyzik123 · 25. 04. 2018 21:47

Ahoj,
Mám zadání vypočítat vlastní čísla a vlastní vektory matice:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Můj postup:

$A = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}$

Postupuji tak, že udělám rozvoj podle druhého řádku. Dostanu:

$(-1)^{2+2}\cdot (1-\lambda)\cdot \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)\cdot(4-2\lambda-2\lambda+\lambda^{2}) = (1-\lambda)\cdot(\lambda^{2}-4\lambda+4)$

Takže dostávám $\lambda_{1} = 1$ a $\lambda_{2,3} = -2$

Dál jdu zjistit vlastní vektory:

$\lambda_{1} = 1: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Z toho dostávám, že $v_{1} = t$ , $v_{2} = 0$ a $v_{3} = -t$ , tedy vlastní vektor je: $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$

Stejný postup jsem aplikoval pro hodnotu -2 a vlastní vektor mi vyšel $\begin{pmatrix}1\\1\\-\frac{1}{4}\end{pmatrix}$

Další postup by měl být takový, že vypočítám součin pro hodnotu 1: $P_{1} = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0& 0 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Totéž pro hodnotu -2: $P_{2} = \begin{pmatrix}1\\1\\-\frac{1}{4}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 1&-\frac{1}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -\frac{1}{4} \\ 1 & 1& -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{16}\end{pmatrix}$

No a teď by mi měla vyjít jednotková matice, pokud sečtu $P_{1} + P_{2}$ , což nevyjde. Co dělám špatně?

Předem díky.

laszky · 25. 04. 2018 21:55

↑ nejsemfyzik123:

Ahoj, ty vlastni cisla mas spatne. Spravne jsou

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

nejsemfyzik123 · 25. 04. 2018 22:00

↑ laszky:

Ahoj, to mi nedává smysl.

Z první závorky se lambda nesmí rovnat +1, to je jasné, jinak by to bylo všechno 0. Ale z druhé závorky, ať to počítám rozkladem nebo podle vzorce, mi stále vycházejí kořeny kvadratické rovnice -2 a -2. Diskriminant rovnice vyjde 0. A ve zlomku mi zůstane nahoře -4 a dole 2, tedy oba kořeny budou -2.

laszky · 25. 04. 2018 22:05

↑ nejsemfyzik123:

Mas spatne ten determinant matice 2x2.

nejsemfyzik123 · 25. 04. 2018 22:13

↑ laszky:

Už to vidím, já tam zapomněl odečíst tu -1.

A ten zbytek postupu je správně? Mám najít matice ortogonálních projekcí na podprostory vlastních vektorů.

laszky · 25. 04. 2018 22:45

↑ nejsemfyzik123:

Protoze v tomto pripade vlastni vektory matice $A$ tvori ortogonalni bazi $R^3$ , staci nalezt vyjadreni libovolneho vektoru $\boldsymbol{u}$ pomoci vlastnich vektoru matice $A$

$\boldsymbol{u}=\alpha_1\boldsymbol{u}_1+\alpha_2\boldsymbol{u}_2+\alpha_3\boldsymbol{u}_3$

Ortogonalni projekce vektoru $\boldsymbol{u}$ na podprostor vlastniho vektoru $\boldsymbol{u}_1$ je pak $P_1\boldsymbol{u}=\alpha_1\boldsymbol{u}_1$ . Protoze $\boldsymbol{u}_1^T\boldsymbol{u} = \alpha_1 |\boldsymbol{u}_1|^2$ , potom

$P_1\boldsymbol{u} = \frac{\boldsymbol{u}_1^T\boldsymbol{u}}{|\boldsymbol{u}_1|^2}\boldsymbol{u}_1 = \left[\frac{1}{|\boldsymbol{u}_1|^2}\boldsymbol{u}_1\boldsymbol{u}_1^T\right]\boldsymbol{u}$

Matice ortogonalni projekce na podprostor vlastniho vektoru $\boldsymbol{u}_1$ je tedy

$P_1 = \frac{1}{|\boldsymbol{u}_1|^2}\boldsymbol{u}_1\boldsymbol{u}_1^T$ ,

kde $\boldsymbol{u}_1$ je sloupcovy vektor a $\boldsymbol{u}_1^T$ je radkovy vektor.

Takze tu tvoji matici $P_1$ musis jeste vydelit dvema. Podobne se udelaji ty dalsi 2 matice.

nejsemfyzik123 · 25. 04. 2018 23:08

↑ laszky:

Tak v tomto se ještě těžce ztrácím, tak daleko ještě nejsem. Mně totiž stále nevychází vlastní vektory matice $A$ ve formě ortogonální báze $R^3$ .

Pro $3$ mi vychází $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ a pro $1$ mi vychází $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

Mám postup u zjišťování vlastních vektorů pro $1$ správně?

laszky · 25. 04. 2018 23:19

↑ nejsemfyzik123:

Pro $\lambda_3=3$ te zajima

$\ker(A-3I) = \ker\begin{pmatrix}-1&0&1 \\ 0&-2&0 \\ 1&0&-1\end{pmatrix} = \ker\begin{pmatrix}-1&0&1 \\ 0&-2&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix} = \left\langle \begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \end{pmatrix} \right\rangle$

Pro $\lambda_{1,2}=1$ te zajima

$\ker(A-I) = \ker\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0&0&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix} = \ker\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix} = \left\langle \begin{pmatrix}1 \\0 \\-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\1 \\0 \end{pmatrix} \right\rangle$

vanok · 26. 04. 2018 10:43

Ahoj ↑ nejsemfyzik123:,
Poznamka.
Pozor, ked pises
$A = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}$
Miesto
$det(A -\lambda I)= det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}$ .

Ten prvy zapis je ozaj nepresny!!!!

nejsemfyzik123 · 26. 04. 2018 12:18

Perfektní, oběma moc děkuji. Teď už v tom mám jasno :)

Matematické Fórum

#1 25. 04. 2018 21:47

Vlastní čísla a vlastní vektory matice - co dělám špatně?

#2 25. 04. 2018 21:55

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice - co dělám špatně?

#3 25. 04. 2018 22:00

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice - co dělám špatně?

#4 25. 04. 2018 22:05

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice - co dělám špatně?

#5 25. 04. 2018 22:13

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice - co dělám špatně?

#6 25. 04. 2018 22:45

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice - co dělám špatně?

#7 25. 04. 2018 23:08

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice - co dělám špatně?

#8 25. 04. 2018 23:19

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice - co dělám špatně?

#9 26. 04. 2018 10:43

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice - co dělám špatně?

#10 26. 04. 2018 12:18

Re: Vlastní čísla a vlastní vektory matice - co dělám špatně?

Zápatí