Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Binomial sum (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 25. 04. 2018 02:18 — Editoval stuart clark (25. 04. 2018 02:18)
- stuart clark
- Příspěvky: 1015
- Reputace: 7
Binomial sum
Proving 
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Marian)
#2 27. 04. 2018 12:35
Re: Binomial sum
![$
\sum_{k=0}^{n^2}(-1)^k\cdot\frac{{n^2\choose k}}{{n+k\choose k}}
&=\sum_{k=0}^{n^2}(-1)^k\cdot {n^2\choose k}\cdot (n+k+1)\cdot\int_{0}^{1}x^n\cdot (1-x)^k\mathrm{d}x\\[2mm]
&=\int_{0}^{1}x^n\cdot\left [(n+1)\sum_{k=0}^{n^2}{n^2\choose k}\cdot (x-1)^k+\sum_{k=1}^{n^2}k\cdot{n^2\choose k}\cdot (x-1)^k\right ]\mathrm{d}x\\[2mm]
&=\int_{0}^{1}x^n\cdot\left [(n+1)\cdot x^{n^2}+n^2\cdot (x-1)\cdot x^{n^2-1}\right ]\mathrm{d}x\\[2mm]
&=(n+1)\cdot\int_{0}^{1}x^{n^2+n}\mathrm{d}x-n^2\cdot\int_{0}^{1}x^{n^2+n-1}\cdot (1-x)\mathrm{d}x\\[2mm]
&=\frac{n+1}{n^2+n+1}-\frac{n^2}{\left (n^2+n+1\right )\cdot{n^2+n\choose 1}}\\[2mm]
&=\frac{n(n+1)^2-n^2}{\left (n^2+n+1\right )\cdot\left (n^2+n\right )}\\[2mm]
&=\frac{1}{n+1},
$](/mathtex/70/70bc3c4111e2519edd474b9634c743ea.gif "kopírovat do textarea")
Offline
#3 28. 04. 2018 01:36
Re: Binomial sum
be an odd number. Then![$
\sum_{k=0}^{n^2}(-1)^k\cdot\frac{{n^2\choose k}}{{n+k\choose k}}
&=\frac{n^2!\cdot n!}{(n^2+n)!}\cdot\sum_{k=0}^{n^2}(-1)^k\cdot{n^2+n\choose n+k}\\[.5\baselineskip]
&=\frac{n^2!\cdot n!}{(n^2+n)!}\cdot\sum_{k=0}^{\frac{n^2-1}2}\left({n^2+n\choose n+2k}-{n^2+n\choose n+2k+1}\right)\\[.5\baselineskip]
&=\frac{n^2!\cdot n!}{(n^2+n)!}\cdot\sum_{k=0}^{\frac{n^2-1}2}\left({n^2+n-1\choose n+2k-1}-{n^2+n-1\choose n+2k+1}\right)\\[.5\baselineskip]
&=\frac{n^2!\cdot n!}{(n^2+n)!}\cdot\left({n^2+n-1\choose n-1}-{n^2+n-1\choose n^2+n}\right)\\[.5\baselineskip]
&=\frac{n^2!\cdot n!}{(n^2+n)!}\cdot{n^2+n-1\choose n-1}
=\frac{n^2!\cdot n!}{(n^2+n)!}\cdot\frac{(n^2+n-1)!}{(n-1)!\cdot n^2!}\\[.5\baselineskip]
&=\frac n{n^2+n}=\frac 1{n+1}
$](/mathtex/61/61b1629751fb835c0d2a11065a0074e6.gif "kopírovat do textarea")
![$
\sum_{k=0}^{n^2}(-1)^k\cdot\frac{{n^2\choose k}}{{n+k\choose k}}
&=\frac{n^2!\cdot n!}{(n^2+n)!}\cdot\sum_{k=0}^{n^2}(-1)^k\cdot{n^2+n\choose n+k}\\[.5\baselineskip]
&=\frac{n^2!\cdot n!}{(n^2+n)!}\cdot\left(\sum_{k=0}^{\frac{n^2-2}2}\left({n^2+n\choose n+2k}-{n^2+n\choose n+2k+1}\right)+{n^2+n\choose n^2+n}\right)\\[.5\baselineskip]
&=\frac{n^2!\cdot n!}{(n^2+n)!}\cdot\left(\sum_{k=0}^{\frac{n^2-2}2}\left({n^2+n-1\choose n+2k-1}-{n^2+n-1\choose n+2k+1}\right)+1\right)\\[.5\baselineskip]
&=\frac{n^2!\cdot n!}{(n^2+n)!}\cdot\left({n^2+n-1\choose n-1}-{n^2+n-1\choose n^2+n-1}+1\right)\\[.5\baselineskip]
&=\frac{n^2!\cdot n!}{(n^2+n)!}\cdot{n^2+n-1\choose n-1}
=\frac{n^2!\cdot n!}{(n^2+n)!}\cdot\frac{(n^2+n-1)!}{(n-1)!\cdot n^2!}\\[.5\baselineskip]
&=\frac n{n^2+n}=\frac 1{n+1}
$](/mathtex/1b/1bb6aa8dc03885d10fd9443958312620.gif "kopírovat do textarea")
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Binomial sum (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)